Guide complet sur les puissances, diviseurs et fractions

Comprendre les puissances

L'autonomisation (puissance) est un facteur de multiplication. Par exemple, 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même.

• 4³ = 4 × 4 × 4 = 64
• 8⁵ = 8 × 8 × 8 × 8 × 8

Ordre des opérations

1. Puissances
2. Multiplications et divisions
3. Additions et soustractions

Exemple : 3 × 2⁴ + 2⁵ = 3 × 16 + 32 = 48 + 32 = 80.

Propriétés des puissances

• Multiplication : On conserve la base et on additionne les exposants (ex: 5² × 5³ = 5⁵).
• Division : On conserve la base et on soustrait les exposants (ex: 2⁶ ÷ 2² = 2⁴).
• Puissance d'une puissance : On conserve la base et on multiplie les exposants (ex: (2⁵)³ = 2¹⁵).

Cas particuliers

• Tout nombre à la puissance 1 est égal à lui-même (ex: 2¹ = 2).
• Tout nombre à la puissance 0 est égal à 1 (ex: 2⁰ = 1).

Divisibilité et nombres premiers

Un nombre naturel est divisible par un autre lorsque la division est exacte (sans reste).

Critères de divisibilité

• Par 2 : Le nombre est pair.
• Par 3 : La somme de ses chiffres est divisible par 3.
• Par 4 : Les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.
• Par 5 : Le nombre se termine par 0 ou 5.
• Par 6 : Le nombre est divisible par 2 et par 3.
• Par 8 : Les trois derniers chiffres forment un nombre divisible par 8.
• Par 9 : La somme de ses chiffres est divisible par 9.
• Par 10 : Le nombre se termine par 0.

Nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Décomposition en facteurs premiers

Tout nombre composé peut s'écrire comme un produit de facteurs premiers (ex: 60 = 2² × 3 × 5).

PPCM et PGCD

• PPCM (Plus Petit Commun Multiple) : Le plus petit nombre divisible par les nombres donnés.
• PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) : Le plus grand nombre qui divise les nombres donnés.

Les fractions

Une fraction représente une partie d'un tout.

Types de fractions

• Propre : Numérateur inférieur au dénominateur.
• Impropre : Numérateur supérieur au dénominateur.
• Apparente : Le numérateur est un multiple du dénominateur.
• Mixte : Composée d'une partie entière et d'une fraction.

Opérations sur les fractions

• Équivalence : Deux fractions sont équivalentes si le produit en croix est égal.
• Simplification : Diviser le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun.
• Addition/Soustraction : Si les dénominateurs sont différents, il faut les réduire au même dénominateur (via le PPCM).
• Multiplication : Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.