Les mathématiques à l'école primaire : objectifs, blocs de contenus et cycles

Les mathématiques à l'école primaire

Mathématiques : ensemble de concepts, d'idées et de formes d'action qui impliquent d'utiliser des quantités et des formes géométriques, en formulant des questions afin d'analyser les phénomènes et les situations qui se présentent dans la réalité. On peut obtenir des informations et des conclusions qui n'étaient pas explicites au départ. Elles intègrent des caractéristiques qui leur sont propres et qui s'identifient avec la déduction, la précision, la rigueur, la sûreté, mais aussi avec l'induction, l'estimation, l'approximation, la probabilité et le tâtonnement. Elles améliorent la capacité à faire face à des situations ouvertes, sans solution unique et fermée.

À l'école primaire, on cherche à atteindre une alphabétisation numérique efficace, c'est-à-dire la capacité à faire face avec succès à des situations où interviennent des nombres et des relations. Pour y parvenir, il est nécessaire de maîtriser les algorithmes de calcul écrit, d'agir avec confiance face aux nombres et aux quantités, de les utiliser lorsque c'est nécessaire et d'identifier les relations élémentaires qui existent entre eux.

Processus de résolution de problèmes : c'est l'un des axes principaux des mathématiques. Il mobilise plusieurs capacités de base : lire et comprendre, réfléchir, établir un plan de travail, modifier ce plan et vérifier la solution.

Contenus organisés en 4 blocs

L'enseignement des mathématiques s'articule autour d'une configuration cyclique des contenus, toujours liés et construits les uns sur les autres.

Bloc 1 : Nombres et opérations

Développement du sens numérique entendu comme maîtrise réfléchie des relations numériques qui peuvent s'exprimer par des capacités telles que : décomposer un nombre de façon naturelle, comprendre et utiliser la structure du système de numération décimal, utiliser les propriétés des opérations et les relations entre elles pour réaliser mentalement des calculs, et maîtriser le calcul avec différentes procédures et une décision adéquate dans chaque cas.

On vise à ce que l'élève calcule avec fluidité et fasse des estimations raisonnables, en cherchant à obtenir un équilibre entre compréhension conceptuelle et compétence en calcul.

Bloc 2 : Mesure

Estimation et calcul de grandeurs. On cherche à faciliter la compréhension des messages dans lesquels on quantifie des grandeurs et on informe sur des situations réelles.

Le point de départ est la connaissance de différentes grandeurs, puis la réalisation de mesures et l'utilisation progressive d'unités. Il faut savoir manier la mesure dans des situations différentes et établir des mécanismes pour l'effectuer : choix d'une unité, relations entre unités et degré de fiabilité. On peut utiliser des unités corporelles, arbitraires, puis passer à des mesures normalisées, plus précises.

Bloc 3 : Géométrie

L'élève apprend sur les formes et la structure géométrique : décrire, analyser, classer des propriétés et raisonner. Cela demande de penser et d'agir, de dessiner, modéliser et mesurer. On développe la capacité à visualiser des relations géométriques. On y parvient en établissant des relations avec le reste des blocs, en utilisant du matériel manipulatif et une activité personnelle : on arrive au concept à travers des modèles réels.

Bloc 4 : Traitement de l'information, hasard et probabilité

La compréhension des informations issues des médias permet de susciter l'intérêt pour les sujets traités et d'aider à obtenir les avantages que les connaissances statistiques procurent dans la prise de décisions. Présentation des données de façon ordonnée et graphique. Les mathématiques facilitent la résolution de problèmes de la vie quotidienne. Ces contenus doivent amorcer l'usage critique de l'information reçue par différents médias.

Contenus

1^er cycle

Bloc 1. Nombres et opérations

• Nombres naturels : chiffres et nombres ; nombres naturels inférieurs à mille (lecture et écriture) ; expression de quantités dans des situations de la vie courante ; ordre numérique ; utilisation des nombres ordinaux ; comparaison de nombres dans des contextes familiers ; système de numération décimal (valeur positionnelle des chiffres).
• Opérations : avec des nombres naturels (addition et soustraction) ; multiplication comme addition de termes égaux et inversement ; tables de multiplication ; expression orale des opérations et du calcul.
• Stratégies de calcul : écriture de suites ascendantes et descendantes de cadence 2, 3, 4, 5, 10 ou 100 à partir d'un nombre donné, et de cadence 25 ou 50 à partir d'un nombre se terminant par 0 ou 5 ; continuation orale ou mentale de suites de cadence 1, 2 et 10 à partir d'un nombre donné, et de cadence 5 à partir d'un nombre se terminant par 0 ou 5, ascendantes et descendantes ; décompositions additives de nombres inférieurs à 1000, en tenant compte de la valeur positionnelle des chiffres ; identification des nombres pairs et impairs dans une liste de nombres inférieurs à 1000 ; construction et mémorisation des tables de multiplication.

Développement de stratégies de calcul mental pour trouver le complément d'un nombre à la dizaine immédiatement supérieure, calcul du double et de la moitié de quantités, et résolution de problèmes d'additions et de soustractions. Calcul approché, estimation et arrondi du résultat d'un calcul à la dizaine la plus proche, en choisissant parmi plusieurs solutions et en évaluant des réponses raisonnables. Résolution de problèmes impliquant la réalisation de calculs, en expliquant oralement la signification des données de la situation proposée, la procédure suivie et les solutions.

Bloc 2. Mesure, estimation et calcul de grandeurs

• Longueur, capacité et poids : comparaison d'objets selon leur longueur, capacité ou poids de manière directe (sans mesure) ; unités de mesure (m, cm, l et kg) ; comparaison entre multiples et sous-multiples d'une même unité principale du système métrique décimal ; mesure avec des instruments et des stratégies non conventionnels ; utilisation d'unités usuelles et d'instruments conventionnels pour mesurer des objets et des distances de l'environnement ; estimation de résultats de mesures dans des contextes familiers, explication orale de la procédure suivie et de la stratégie utilisée ; résolution de problèmes de mesure en expliquant la signification des données, la situation proposée, la procédure suivie et les solutions obtenues.
• Mesure du temps : unités de mesure du temps (min, h, jour, semaine, année) ; lecture de l'horloge conventionnelle (heures, quarts d'heure et demi-heures) ; sélection et utilisation de l'unité appropriée pour déterminer la durée d'un intervalle de temps.
• Introduction au système monétaire de l'UE : valeur de différentes pièces et billets et comparaison entre eux ; manipulation des prix d'articles courants.

Bloc 3. Géométrie

• Situation dans l'espace : localisation élémentaire d'objets dans l'espace (dedans, dehors, au-dessus, en dessous, à droite, à gauche…) ; description de la position d'objets de l'environnement par rapport à soi-même (devant, derrière, à côté, au-dessus, en dessous) ; lignes ouvertes et fermées, droites et courbes ; utilisation du vocabulaire géométrique pour décrire des itinéraires ; interprétation et description verbale de croquis d'itinéraires et élaboration de ceux-ci.
• Formes planes et spatiales : approche intuitive des notions de point, droite et plan ; distinction intuitive entre surface plane et courbe ; identification de figures planes dans des objets et des milieux quotidiens : triangles, quadrilatères, cercles et carrés ; éléments géométriques de base (côté, sommet, intérieur, extérieur, frontière) ; identification de solides géométriques dans des objets familiers (cubes, pavés droits, prismes, pyramides, cylindres et sphères) ; description des formes géométriques en utilisant le vocabulaire géométrique de base ; classification de figures et de solides géométriques selon des critères élémentaires ; formation de figures planes et de solides à partir d'autres par composition et décomposition ; construction et tracé à main levée de triangles et de quadrilatères (rectangles).
• Régularités et symétries : recherche d'éléments de régularité dans des figures et des solides à partir de la manipulation d'objets ; interprétation de messages contenant des informations sur des relations spatiales ; résolution de problèmes géométriques en expliquant oralement ou par écrit les données, la situation proposée, la procédure suivie et les solutions.

Bloc 4. Traitement de l'information, hasard et probabilité

• Graphiques statistiques : description verbale, obtention d'informations qualitatives et interprétation d'éléments significatifs de graphiques simples relatifs à des phénomènes proches ; utilisation de techniques élémentaires pour recueillir et ordonner des données dans des contextes familiers proches.
• Caractère aléatoire de certaines expériences : expériences dont le résultat dépend du hasard ; utilisation, dans le langage courant, d'expressions liées à la probabilité.
• Contenus communs aux quatre blocs : disposition à utiliser les nombres, leurs relations et opérations pour obtenir et exprimer des informations, interpréter des messages et résoudre des problèmes dans des situations réelles ; goût pour la présentation ordonnée et soignée des calculs et des résultats ; curiosité pour connaître et mesurer certains objets et temps familiers, et intérêt pour l'interprétation de messages contenant des informations sur des mesures, avec soin dans la réalisation des mesures ; intérêt et curiosité pour l'identification de formes et d'éléments caractéristiques ; confiance en ses propres capacités, curiosité, intérêt et constance dans la recherche de solutions ; participation et collaboration active dans un travail d'équipe et un apprentissage organisé à partir de recherches sur des situations réelles, avec respect du travail des autres.

2^e cycle

Bloc 1. Nombres et opérations

• Nombres naturels, décimaux et fractions : nombres naturels inférieurs au million (lecture et écriture) ; système de numération décimal (valeur positionnelle des chiffres) ; ordre entre nombres, notation ; arrondi de nombres naturels aux dizaines et aux centaines ; notion de fraction comme relation entre les parties et le tout ; fractions propres et impropres, nombre mixte, représentation graphique ; fractions équivalentes à une fraction donnée ; ordre de fractions simples ; initiation au nombre décimal (dixièmes, centièmes) ; structure décimale et fractionnaire d'un nombre non entier.
• Opérations : avec des nombres naturels (addition, soustraction, multiplication, division) ; entre un nombre décimal et un nombre à un chiffre ; identification et usage des termes propres de la multiplication (facteurs, multiplicande, multiplicateur, produit) ; multiplication d'un nombre par l'unité suivie de zéros et par des dizaines et centaines complètes ; utilisation, dans des situations familières, de la multiplication pour effectuer des comptages ; identification et usage des termes propres de la division ; utilisation, dans des contextes réels, de la division pour partager et grouper ; usage de la relation entre dividende, diviseur, quotient et reste, comme preuve de la division dans des cas simples ; utilisation des nombres et du calcul numérique pour résoudre des problèmes dans des situations réelles, en expliquant oralement et par écrit la procédure de résolution et les résultats obtenus ; lecture et écriture de nombres ordinaux.
• Stratégies de calcul : décomposition additive et additivo-multiplicative de nombres inférieurs à un million, en tenant compte de la valeur positionnelle de leurs chiffres ; construction de suites numériques de cadence 2, 10, 100 à partir de n'importe quel nombre, et de cadence 5, 15 et 50 à partir de leurs multiples ; utilisation d'algorithmes standard dans des contextes de résolution de problèmes d'addition, soustraction, multiplication et division par un chiffre ; élaboration et usage de stratégies de calcul mental ; estimation des résultats en s'assurant, par une stratégie quelconque, que le résultat est raisonnable ; utilisation du calcul pour résoudre des problèmes de la vie courante de complexité variée.

Bloc 2. Mesure, estimation et calcul de grandeurs

• Longueur, capacité, poids, surface : unités du système métrique décimal et équivalences ; expression sous forme simple d'une mesure de longueur, capacité ou poids donnée sous forme complexe, et inversement ; addition et soustraction de mesures de longueur, capacité, poids et surface données sous forme simple ; réalisation de mesures avec des instruments et des unités de mesure conventionnels dans des contextes quotidiens ; choix de l'unité la plus adaptée pour exprimer une mesure ; unités traditionnelles de longueur, capacité et masse propres à la région de Murcie, en tenant compte des différences locales et régionales ; comparaison et ordre d'unités et de quantités d'une même grandeur ; élaboration et utilisation de stratégies pour mesurer ; estimation de mesures d'objets de la vie quotidienne ; explication orale et écrite de la procédure suivie et de la stratégie utilisée pour mesurer ; intérêt pour connaître et utiliser la mesure, et exprimer des résultats numériques de ces mesures en indiquant les unités utilisées et en expliquant oralement et par écrit la procédure suivie.
• Mesure du temps : lecture correcte d'horloges analogiques et digitales, en utilisant des mesures de temps (secondes, minutes, heures, jours, années) ; équivalences entre différentes unités de temps ; expression en minutes et secondes d'une durée donnée sous forme complexe ; calcul de l'heure en manipulant des intervalles antérieurs ou postérieurs à une heure déterminée.
• Système monétaire de l'UE : unité principale (euro), multiples et sous-multiples de l'unité principale ; équivalences entre pièces et billets.

Bloc 3. Géométrie

• Situation dans l'espace : localisation précise d'éléments dans l'espace ; représentation élémentaire d'espaces connus (plans et maquettes) ; description de positions et de mouvements dans un contexte topographique ; localisation de points à partir d'un système de référence orthonormé en utilisant des coordonnées cartésiennes ; interprétation de croquis et de plans simples ; lignes droites et courbes ; droites parallèles, perpendiculaires et obliques ; relation entre la notion d'angle et la rotation.
• Formes planes et spatiales : figures géométriques et éléments de base (côté, sommet, base, diagonale, angle, axes de symétrie) ; circonférence et cercle, éléments de base (centre, rayon, diamètre, corde, arc) ; reconnaissance de solides géométriques : prismes, pyramides et corps ronds ; éléments de base des polyèdres (faces, sommets, arêtes) ; classification de figures et de solides géométriques selon des critères ; identification de figures planes et spatiales dans la vie quotidienne ; description de la forme d'objets à l'aide du vocabulaire géométrique de base ; construction de figures géométriques planes à partir de données, et de solides géométriques à partir d'un développement ; comparaison et classification d'angles (droits, aigus, obtus, plats, de 360 degrés et complets).
• Régularités et symétries : transformations métriques (translations, rotations et symétries) ; identification de translations, rotations et symétries dans un environnement familier et dans la nature.

Bloc 4. Traitement de l'information, hasard et probabilité

• Graphiques et tableaux : recueil et enregistrement de données sur des objets et des phénomènes, dans des situations familières, en utilisant des techniques élémentaires comme l'enquête, l'observation et la mesure ; lecture, interprétation et élaboration de tableaux à double entrée d'usage courant dans la vie quotidienne ; réalisation et interprétation de graphiques simples faisant référence à des données liées à la pluviosité, la température, la population et l'industrie de la région ; construction de tableaux de fréquences absolues ; interprétation et description verbale d'éléments significatifs de graphiques simples relatifs à des phénomènes familiers ; réalisation de graphiques simples (pictogrammes, diagrammes en barres) ; disposition à élaborer et présenter des graphiques et des tableaux de façon ordonnée et claire.
• Caractère aléatoire de certaines expériences : évaluation des résultats d'expériences où intervient le hasard, pour apprécier qu'il existe des événements plus ou moins probables et l'impossibilité de prédire un résultat concret ; introduction au langage du hasard.
• Contenus communs aux quatre blocs : confiance en ses propres capacités et constance pour utiliser les nombres, leurs relations et opérations afin d'obtenir et d'exprimer des informations, en manifestant une initiative personnelle dans les processus de résolution de problèmes de la vie ; intérêt pour la présentation propre, ordonnée et claire des calculs et des résultats ; disposition à mener des apprentissages autonomes en relation avec les nombres, leurs relations et opérations ; confiance en ses propres capacités et intérêt pour partager avec les autres les procédures qu'on utilise pour mesurer, obtenir et exprimer des informations et résoudre des problèmes dans des situations réelles ; intérêt pour la présentation propre et ordonnée des procédures et l'expression des mesures ; intérêt pour l'élaboration et la présentation soignée de constructions géométriques ; confiance en ses propres capacités et constance pour utiliser les constructions géométriques, les objets et les relations spatiales ; confiance en ses propres capacités, curiosité, intérêt et constance dans l'interprétation de données présentées graphiquement ; goût pour partager les procédures de résolution et les résultats obtenus, et collaboration active et responsable dans un travail d'équipe.

3^e cycle

Bloc 1. Nombres et opérations

• Nombres entiers, décimaux et fractions : usage dans des situations réelles du nom et de l'écriture de nombres de plus de 6 chiffres ; équivalences entre éléments du système de numération décimal (unités, dizaines, centaines…) ; arrondi de nombres naturels aux dizaines, centaines et milliers ; estimation des résultats en s'assurant, par une stratégie appropriée, de leur pertinence ; comparaison de résultats avec des stratégies arithmétiques ; initiation à la divisibilité (multiples, diviseurs, nombres premiers et composés) ; critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9, 10 ; fractions équivalentes, réduction de deux ou plusieurs fractions au même dénominateur ; ordre d'ensembles de nombres de différents types ; nombres décimaux, valeur de position et usage dans la vie quotidienne ; arrondi de décimaux au dixième, centième ou millième le plus proche ; relation entre une fraction et un nombre décimal, application à l'ordre de fractions ; nombres positifs et négatifs ; systèmes de numération dans les cultures antérieures et leur influence dans l'actualité (romain) ; nombres ordinaux et usage dans la vie quotidienne.
• Opérations : propriétés des opérations et relations entre elles, en utilisant des nombres naturels ; puissance comme produit de facteurs égaux ; carrés et cubes ; puissances de base 10 ; addition et soustraction de fractions de même dénominateur ; produit d'une fraction par un nombre ; opérations avec des nombres décimaux ; hiérarchie des opérations et usage des parenthèses ; explication orale de la procédure suivie dans la résolution de problèmes numériques ; pourcentages et proportionnalité ; calcul de pourcentages d'une quantité ; expression de parties en utilisant des pourcentages (correspondance entre fractions simples, décimaux et pourcentages) ; augmentations et diminutions en pourcentage ; reconnaissance de la proportionnalité directe ou de son absence ; utilisation de la règle de trois dans des situations de proportionnalité directe (double, triple, moitié).
• Stratégies de calcul : automatisation des algorithmes des opérations et vérification des résultats ; utilisation des opérations addition, soustraction, multiplication et division avec différents types de nombres dans des situations quotidiennes ; décomposition de nombres naturels en tenant compte de la valeur positionnelle de leurs chiffres ; utilisation de la table de multiplication pour identifier multiples et diviseurs ; obtention des premiers multiples d'un nombre donné ; obtention de tous les diviseurs de n'importe quel nombre inférieur à 100 ; décomposition de nombres décimaux en tenant compte de la valeur positionnelle des chiffres ; calcul de pourcentages élémentaires dans des situations réelles ; estimation du résultat d'un calcul et évaluation de réponses numériques raisonnables ; résolution de problèmes de la vie quotidienne en utilisant des stratégies de calcul mental et des relations entre nombres, en expliquant oralement et par écrit ; règles d'usage de la calculatrice ; vérification à la calculatrice des résultats d'opérations faites à la main.

Bloc 2. Mesure, estimation et calcul de grandeurs

• Longueur, capacité, poids, surface et volume : unités du système métrique décimal ; équivalences entre mesures de capacité et de volume ; expression sous forme simple d'une mesure donnée sous forme complexe, et inversement ; ordre de mesures d'une même grandeur ; unités traditionnelles de longueur, capacité et masse de Murcie et différences locales et régionales ; développement de stratégies pour mesurer des figures de façon exacte et approchée ; réalisation de mesures avec des instruments et des unités de mesure conventionnels ; estimation de longueurs, capacités, poids, surfaces et volumes d'objets et d'espaces connus, choix de l'unité et des instruments adéquats ; explication orale et écrite de la procédure suivie ; comparaison de surfaces de figures planes par superposition, décomposition et mesure ; addition et soustraction de mesures de longueur, capacité, poids, surface et volume données sous forme simple, en donnant le résultat dans l'unité demandée.
• Mesure du temps : unités de mesure du temps et leurs relations, précision en minutes et secondes ; équivalences et transformations entre heures, minutes et secondes ; calculs simples avec des mesures de temps ; calcul de l'heure en manipulant des intervalles antérieurs et postérieurs à une heure déterminée.
• Systèmes monétaires : équivalences entre différentes monnaies et billets ; conversion entre l'euro, le dollar et la livre sterling.
• Mesure des angles : angle comme résultat d'une rotation ou d'une ouverture ; système sexagésimal ; mesure des angles et instruments pour les mesurer ; calculs simples avec des mesures angulaires.

Bloc 3. Géométrie

• Situation dans le plan et dans l'espace : positions relatives de droites et de circonférences ; angles dans différentes positions (consécutifs, adjacents, opposés par le sommet) ; systèmes de coordonnées cartésiennes, description de positions et de mouvements au moyen de coordonnées, de distances, d'angles et de rotations ; représentation élémentaire de l'espace, échelles et graphiques simples ; utilisation d'instruments de dessin et de logiciels informatiques pour la construction et l'exploration de formes géométriques.
• Formes planes et spatiales : figures planes (éléments, relations et classification) ; classification des triangles selon leurs côtés et leurs angles ; relations entre côtés et angles d'un triangle ; classification des quadrilatères selon le parallélisme de leurs côtés (classification des parallélépipèdes) ; concavité et convexité de figures planes ; identification et dénomination des polygones selon leur nombre de côtés ; périmètre et aire ; circonférence et cercle (éléments de base : centre, rayon, diamètre, corde, arc, tangente et secteur circulaire) ; solides géométriques (éléments, relations et classification) ; polyèdres (éléments de base : sommets, faces et arêtes, types de polyèdres) ; corps ronds (cône, cylindre, sphère) ; formation de figures planes et de solides géométriques à partir d'autres par composition et décomposition.
• Régularités et symétries : reconnaissance de régularités et de symétries de type axial et spéculaire ; tracé d'une figure plane symétrique d'une autre par rapport à un axe ; introduction à la similitude (agrandissements et réductions).
• Attitudes : intérêt et persévérance dans la recherche de solutions à des situations liées à l'organisation et à l'utilisation de l'espace ; confiance en ses propres capacités pour utiliser les constructions géométriques, les objets et les relations spatiales afin de résoudre des problèmes dans des situations réelles ; intérêt pour la présentation claire et ordonnée des travaux géométriques.

Bloc 4. Traitement de l'information, hasard et probabilité

• Graphiques et paramètres statistiques : recueil et classification de données qualitatives et quantitatives ; construction de tableaux de fréquences absolues et relatives ; initiation intuitive aux mesures de tendance centrale (moyenne arithmétique, mode, étendue) ; réalisation et interprétation de graphiques simples (diagrammes en barres, polygones de fréquences et diagrammes circulaires, avec recueil de données liées à la région) ; analyse critique des informations présentées dans les graphiques.
• Caractère aléatoire de certaines expériences : expériences dont les résultats dépendent du hasard (expériences aléatoires) ; initiation intuitive au calcul de la probabilité d'un événement d'expériences réalisées par l'élève.
• Contenus communs aux quatre blocs : capacité à formuler des raisonnements et à argumenter sur la validité d'une solution en identifiant les erreurs ; utilisation de la mesure et des mesures pour résoudre des problèmes et comprendre et transmettre des informations ; intérêt pour l'usage soigneux et précis de différents instruments de mesure et d'outils technologiques, et pour l'emploi d'unités adéquates ; intérêt pour la précision dans la description et la représentation de formes géométriques ; disposition à élaborer et présenter des graphiques et des tableaux de façon ordonnée et claire ; obtention et utilisation d'informations pour réaliser des graphiques ; prise de conscience de la nécessité de la réflexion, du raisonnement et de la persévérance pour surmonter les difficultés inhérentes à la résolution de problèmes ; confiance en ses propres capacités et intérêt pour l'usage d'outils technologiques ; collaboration active et responsable dans un travail d'équipe, en manifestant l'initiative de résoudre des problèmes impliquant l'application des contenus.