Concepts de base en cinématique du point

Vitesse

Vitesse moyenne

La vitesse moyenne d'un mobile est le rapport entre la distance parcourue (d) sur la trajectoire et le temps (Δt) mis pour la parcourir.

Vitesse moyenne = d / Δt

Vecteur vitesse moyenne

Le vecteur vitesse moyenne d'un mobile est le rapport entre son vecteur déplacement (Δr) et le temps mis (Δt).

v_moy = Δr / Δt

Vitesse instantanée

La vitesse instantanée d'un mobile est celle qu'il possède en un point précis de sa trajectoire. Sa valeur numérique est appelée célérité ou vitesse scalaire.

Elle correspond à la limite de la vitesse moyenne lorsque Δt tend vers 0.

Accélération

L'accélération est la grandeur physique qui indique comment la vitesse varie par unité de temps. Puisque la vitesse est un vecteur, sa variation peut affecter son module (valeur numérique), sa direction, ou les deux.

Accélération moyenne

L'accélération moyenne (a_moy) d'un corps dans un intervalle de temps Δt est la variation de son vecteur vitesse (Δv) pendant cet intervalle.

a_moy = Δv / Δt = (v - v₀) / (t - t₀)

Accélération instantanée

L'accélération instantanée (a) d'un mobile en un point de sa trajectoire est la limite du rapport Δv / Δt lorsque Δt tend vers 0.

a = lim_Δt→0 (Δv / Δt)

Classification des mouvements

Mouvement rectiligne uniforme (MRU)

Un mobile est en MRU lorsqu'il se déplace à vitesse constante sur une trajectoire rectiligne.

• Son accélération est nulle : a = 0.
• Son vecteur vitesse est constant : v = constante.

Dans ce cas, la vitesse moyenne coïncide toujours avec la vitesse instantanée. On peut le décrire par l'équation vectorielle horaire :

r(t) = r₀ + v(t - t₀)

On peut représenter un MRU par un graphique position en fonction du temps s(t). La représentation graphique est toujours une droite.

Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA)

Un mobile est en MRUA lorsqu'il se déplace avec une accélération constante sur une trajectoire rectiligne.

• Son accélération est constante et non nulle : a = constante ≠ 0.

L'accélération moyenne coïncide avec l'accélération instantanée. L'équation vectorielle de la vitesse est :

v(t) = v₀ + a(t - t₀)

Mouvement circulaire (MC)

Les mouvements circulaires sont ceux dont la trajectoire est un cercle de rayon R.

• R = constante ≠ 0.

Dans ces cas :

• Le module du vecteur position reste constant (|r| = R).
• La distance parcourue par le mobile est toujours un arc de cercle.
• Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire (et donc perpendiculaire au vecteur position si l'origine est au centre du cercle).

Grandeurs angulaires

• Mesure d'angle en radians : Le radian (rad) est une unité de mesure d'angle. Un angle en radians est le rapport entre la longueur de l'arc correspondant et le rayon R de la circonférence.
• Vitesse angulaire moyenne (ω_moy) : La vitesse angulaire moyenne d'un mouvement de rotation est l'angle (Δα) balayé par le vecteur position par unité de temps (Δt). Elle s'exprime en rad/s.

ω_moy = Δα / Δt

La relation entre la vitesse angulaire (ω) et la vitesse linéaire (v) est :

v = ω * R

Mouvement circulaire uniforme (MCU)

Un mouvement est un MCU s'il est effectué avec une vitesse angulaire constante (ω).

• ω = constante ≠ 0.

La vitesse angulaire instantanée coïncide avec la vitesse angulaire moyenne.

• Période (T) : C'est le temps mis par le mobile pour effectuer un tour complet (mesurée en secondes, s).
  T = 2π / ω
• Fréquence (f) : C'est le nombre de tours effectués par le mobile par seconde (mesurée en Hertz, Hz).
  f = 1 / T = ω / 2π

Mouvement circulaire uniformément accéléré (MCUA)

Un mouvement est un MCUA s'il est réalisé avec une accélération angulaire constante (α).

• α = constante ≠ 0.

L'accélération angulaire (α) d'un corps est la variation de la vitesse angulaire (Δω) par unité de temps (Δt) :

α = Δω / Δt = (ω - ω₀) / (t - t₀)

Dans ce cas, l'accélération angulaire moyenne coïncide avec l'accélération angulaire instantanée.

Accélération dans les mouvements curvilignes

Dans les mouvements à trajectoire curviligne, la variation du vecteur vitesse peut concerner son module et/ou sa direction. L'accélération totale (a) peut être décomposée en deux composantes orthogonales :

Accélération tangentielle (a_t)

Elle est due à la variation du module (la valeur numérique) de la vitesse. Sa direction est tangente à la trajectoire.

a_t = d|v|/dt

Accélération normale (a_n)

Elle est due à la variation de la direction du vecteur vitesse. Elle existe toujours dans les mouvements curvilignes (dès que la trajectoire n'est pas une droite). Sa direction est perpendiculaire à la trajectoire et dirigée vers le centre de courbure de la trajectoire.

a_n = v² / R

où v est le module de la vitesse instantanée et R est le rayon de courbure de la trajectoire au point considéré.

Le module de l'accélération totale est : a = √(a_t² + a_n²)