Conditions aux Limites et Analyse Dimensionnelle en Fluides

Conditions aux Limites en Mécanique des Fluides

Interaction Fluide-Paroi Solide

Les forces de frottement visqueux font que les couches de fluide en contact immédiat avec une surface solide y adhèrent, annulant ainsi tout mouvement relatif. De plus, il ne peut y avoir de mouvement relatif entre le fluide et la paroi dans la direction normale à celle-ci. Ainsi, la condition aux limites pour une paroi solide est : (vitesse relative paroi-fluide nulle). Si le fluide est considéré comme idéal (sans frottement), la condition devient :

Interface entre Deux Fluides

La force exercée par le fluide sur une paroi solide peut s'écrire : . La force par unité de surface (contrainte) est alors : . Cette contrainte inclut la force normale à la surface. Le premier terme représente la pression statique et le second terme représente la force de frottement due à la viscosité agissant sur la surface. Dans le cas d'une surface séparant deux fluides non miscibles, la vitesse doit être continue à travers l'interface, et la contrainte exercée par un fluide sur l'autre doit être égale et opposée (équilibre des forces). La condition aux limites pour l'interface entre deux fluides est : .

Interface Liquide-Gaz et Surface Libre

Pour une interface liquide-gaz, en considérant le fluide incompressible ( ), une condition aux limites spécifique s'applique. Enfin, pour la surface libre d'un fluide, la condition aux limites est [information manquante ou formulation imprécise dans le texte original].

Répétition : Interface entre Deux Fluides

Nous pouvons écrire la force agissant sur une paroi solide comme : . Alors la force par unité de surface est : , qui est la force normale à la surface. Le premier terme représente la pression statique et le second est la force de frottement due à la viscosité agissant sur la surface. Dans le cas d'une surface séparant deux fluides non miscibles, la vitesse doit être continue à travers l'interface et la force qu'un fluide exerce sur l'autre doit s'équilibrer. La condition limite pour l'interface entre deux fluides est : .

Répétition : Interface Liquide-Gaz et Surface Libre

Pour une interface liquide-gaz, en tenant compte que le fluide est incompressible ( ), la condition aux limites s'applique. Enfin, pour la surface libre d'un fluide, la condition limite est [information manquante ou formulation imprécise dans le texte original].

Définition de la Fonction de Courant

Pour définir la fonction de courant, nous devons poser les hypothèses suivantes : écoulement plan ( ) et incompressible ( ). Si l'on souhaite de plus que la fonction de courant satisfasse l'équation de Laplace ( ), il faut ajouter les hypothèses de fluide idéal ( ) et d'écoulement irrotationnel ( ).

Théorème de l'Analyse Dimensionnelle

Le théorème fondamental de l'analyse dimensionnelle (Théorème de Buckingham ou Théorème Pi) établit que : si une relation physique est exprimable par une équation impliquant n quantités physiques ou variables, et si ces variables sont exprimées en termes de k dimensions physiques indépendantes, alors l'équation originale peut être réécrite de manière équivalente comme une équation reliant (n - k) nombres sans dimension, construits à partir des variables originales.