Constructions géométriques des coniques et ovoïdes

Construction d'un ovale par le petit axe

Si nous avons le segment CD, il est placé verticalement. À partir du centre O, on trace un cercle passant par C et D. La ligne verticale de coupe passe par N et M. On joint CM, CN, DN et DM.

Construction d'un ovale par l'axe majeur

On vous donne l'axe AB, divisé en trois parties égales. Avec un compas, on trace un cercle passant par A et un deuxième cercle passant par B. Les intersections de ces cercles avec l'axe AB sont M et N. Il y aura deux points d'intersection par cercle, on les relie à M et N.

Ovale défini par deux points

On vous donne AB. On prend la moitié de AB, que nous appelons CD. On trace une ligne verticale ou des chemins OA et un arc vertical (T) jusqu'à A. Depuis C, on prend la mesure T et on la reporte sur AC. On trace la bissectrice des droites AC, mais moins l'arc avant que la bissectrice ne coupe T. Le point sur AB est joint au point qui se déplace à travers C. Ce point est également O. Ce point répond à C. Ces deux points sont reliés à D.

Ovoïde par l'axe mineur

On procède normalement. On trace la médiatrice de CD. Depuis C, on trace un cercle qui passe par CD. L'intersection avec la bissectrice est P, et P est relié à CD.

Construction d'un ovoïde par l'axe

On vous donne l'axe AB, que l'on divise en six parties égales. On trace des lignes verticales. Depuis la deuxième ligne de division la plus longue, on trace une ligne horizontale. À partir du point milieu de la deuxième division, on trace un cercle passant par A et A. Au centre C, dans la deuxième moitié, on trouve B et on le coupe par la ligne horizontale. Ces deux points seront R et S. On joint le point 5 à R et S.

Construction d'un ovoïde à deux axes

On place le segment CD horizontalement, avec O comme centre. Avec un compas, on trace un cercle passant par C et D. On trace la bissectrice de CD. On marque un point P au-dessus et en dessous du centre. Avec un compas, on trace un cercle de centre P passant par O. La perpendiculaire à ce point aura un rayon b. On reporte la longueur PB à partir de D, ce qui donne E. On joint P et E, puis on trace la bissectrice et on la prolonge jusqu'à ce qu'elle coupe l'horizontale en S. On prend la distance OS et on la reporte de l'autre côté pour obtenir S'. On joint S et S' à P.

Construction d'une ellipse par points

Nous avons les axes AB et CD, placés correctement et avec leurs médiatrices. Avec l'axe horizontal AO, on utilise C pour déterminer les foyers (F et F'). On procède de la même manière. De F à O, on fait huit divisions. De l'autre côté, en B, on ouvre le compas jusqu'à 1 à gauche et on trace un arc devant ces points. Ensuite, on reporte la distance A1 depuis F et on trace un autre arc qui coupe le premier. On répète pour tous les points.

Construction d'une ellipse par affinité

On place les axes AB et CD normalement, avec leurs médiatrices. Depuis C, on trace un cercle passant par CD. On divise ce cercle en douze parties égales à partir de O. On joint chaque division. On trace un cercle passant par C et AB. Sur ce cercle, il y aura également douze divisions s'étendant. Les points de rencontre avec C, nous traçons une ligne verticale dans la direction des petits cercles. Et les points de fixation des petits cercles se rejoignent bien avec les lignes horizontales, donnant les points de l'ellipse.

Hyperbole par faisceau projectif

On place AB et FF' horizontalement à une distance O. Depuis O, vers la gauche, on trace une perpendiculaire (identique en haut et en bas). De chaque côté, depuis A et B, on trace une perpendiculaire. Ensuite, en joignant pour mesurer les deux directions, on obtient le point P. Il en résulte quatre rectangles, chaque côté étant divisé en deux parties. On joint le bas et les points 1, 2, puis le haut et les points 1, 2 de l'autre côté. On remplace B et on laisse les points.

Tangente à une ellipse depuis un point extérieur

On place AB et FF'. On trace la médiatrice de FF', qui nous donne AO. On dessine un arc P CD. On joint FF'. Avec la mesure F AB, on trace un arc de cercle. Depuis P, on trace un arc de F'. On joint F' avec 1. On trace la médiatrice de 1-F' (t1) passant par P. On joint F' à 2 et on trace la bissectrice passant par P (t2). Là où t1 coupe l'union de 1-F et 2-F, on a T1, et avec T2, on a T2.

Tangente à une hyperbole depuis un point extérieur

On place AB et CD avec leurs médiatrices. Depuis A, on place B pour rejoindre les sommets du carré. Depuis le haut, on trace un arc horizontal dont le centre est O (ce sera FF'). On procède comme pour AB à partir du cercle F. Depuis P, on trace un arc passant par F' en 1 et 2. On joint 1 avec F'. On trace la bissectrice qui nous relie à P, ce qui donne t1. On joint 2 avec F' et on trace la bissectrice t2. Pour T2, on joint F-2 (qui sera coupé au point t2) et pour T1, on joint F-1 (identification).

Tangente à une parabole depuis un point extérieur

On trace une ligne verticale (d) et un axe horizontal où nous le souhaitons. Nous avons le point P. On prend la distance F et PF, et on coupe en D. Les deux intersections seront 1 et 2. On joint F. On trace la médiatrice des deux segments (passant par P), ce qui donne t1 et t2. Pour trouver T1 et T2, on trace une ligne horizontale et on observe où elle coupe.

Tangente à une ellipse parallèle à une droite

Nous avons les axes AB et FF'. On obtient R. Avec les rayons depuis AB', on trace un cercle. En prenant R comme référence, on trace une perpendiculaire à F (90°) qui coupe le cercle en 1 et 2. On trace leurs bissectrices (T1-T2). Pour T1 et T2, on joint F' avec 1 et 2.

Tangente à une hyperbole parallèle à une droite

On donne R, CD et AB. On les place avec leurs médiatrices. Depuis A et B, on trace des perpendiculaires pour augmenter la hauteur de CD. Et dans les coins supérieurs, avec le centre, on trace FF'. Avec la mesure AB, on trace un cercle de centre F'. On trace une ligne à 90° avec R passant par F, qui coupe le cercle en deux points 1 et 2. On trace la bissectrice de F à 1 (T1). Pour rendre t1 parallèle, on la fait passer par le point 1 (T2). On joint 2 avec F' pour couper t2 (T2) et 1 avec F' pour couper t1 (T1).