Constructions Géométriques: Tangences et Liaisons

Constructions de Tangences

Tracer une Tangente

Tangentes à deux cercles

1. Tangente externe: Dessinez un cercle concentrique au plus grand, de rayon R - r (où R est le rayon du grand cercle et r celui du petit). Joignez les centres des deux cercles. Tracez un cercle auxiliaire dont le diamètre est la ligne joignant les centres. Les points d'intersection de ce cercle auxiliaire avec le cercle concentrique (de rayon R-r) sont des points clés. Reliez le centre du grand cercle à ces points d'intersection. Ces lignes coupent le grand cercle en des points de contact. Tracez des parallèles à ces lignes passant par le centre du petit cercle pour trouver les autres points de contact.
2. Tangente interne: Le processus est similaire, mais le cercle concentrique est de rayon R + r, et les parallèles sont tracées du côté opposé.

Tangentes à un cercle passant par un point P

• Si le point P est extérieur au cercle: Tracez un cercle concentrique au cercle donné, de rayon R + r (où R est le rayon du cercle donné et r est le rayon du cercle tangent à construire). Tracez un cercle de centre P et de rayon R. Les points d'intersection de ces deux cercles sont les centres des cercles tangents recherchés.
• Si le point P est intérieur au cercle: Le principe est le même, mais le rayon du cercle concentrique est R - r (soustrayant au lieu d'ajouter).

Cercle tangent aux deux côtés d'un angle

Tracez la bissectrice de l'angle. Ensuite, tracez une parallèle à l'un des côtés de l'angle, à une distance égale au rayon souhaité du cercle tangent. Le point d'intersection de cette parallèle avec la bissectrice est le centre du cercle tangent.

Tangente à un cercle en un point T situé sur celui-ci

Reliez le centre du cercle au point T. Prolongez cette ligne. La ligne perpendiculaire à cette extension, passant par le point T, est la tangente recherchée.

Liaison de deux cercles par un arc

1. Liaison concave (arc externe): Pour lier deux cercles avec un arc de rayon donné (R_liaison), tracez deux cercles auxiliaires concentriques aux cercles donnés. Le premier aura un rayon R1 + R_liaison et le second R2 + R_liaison. Les points d'intersection de ces deux cercles auxiliaires sont les centres des arcs de liaison.
2. Liaison convexe (arc interne): Le principe est similaire, mais les cercles auxiliaires concentriques auront des rayons R1 - R_liaison et R2 - R_liaison (si R_liaison est plus grand que R1 et R2, sinon R_liaison - R1 et R_liaison - R2). Les points d'intersection sont les centres des arcs de liaison.

Cercle tangent à un cercle donné en un point T, et passant par un point P

Reliez le centre du cercle donné au point T et prolongez cette ligne. Reliez le point T au point P. Tracez la médiatrice du segment TP. Le point d'intersection de cette médiatrice avec la ligne prolongée (centre-T) est le centre du cercle recherché.

Liaison de deux droites par un arc

Liaison de deux droites parallèles

Tracez une ligne parallèle à chaque droite, à une distance égale au rayon souhaité de l'arc de liaison. Le point d'intersection de ces deux parallèles est le centre de l'arc de liaison.

Liaison de deux lignes avec des arcs de rayons différents (raccordement)

À partir de l'extrémité de chaque ligne, tracez une perpendiculaire. Sur ces perpendiculaires, marquez des points à une distance donnée (correspondant aux rayons des arcs). Reliez ces points et tracez la médiatrice de ce segment.

Le premier centre de l'arc sera le point d'intersection de la médiatrice avec la perpendiculaire la plus éloignée de l'extrémité opposée de la ligne. Le second centre sera à l'extrémité de l'autre perpendiculaire. Le point de raccordement entre les deux arcs est trouvé en joignant les deux centres et en prolongeant cette ligne jusqu'à ce qu'elle coupe les arcs.

Cercle tangent à une ligne A et passant par un point P

Tracez une perpendiculaire à la ligne A au point de tangence T (si T est connu, sinon il faut le trouver). Reliez le point P au point T. Tracez la médiatrice du segment PT. Le point d'intersection de cette médiatrice avec la perpendiculaire à la ligne A (passant par T) est le centre du cercle recherché.

Cercle tangent à une ligne et passant par deux points A et B

Reliez les points A et B. Tracez la médiatrice du segment AB. Construisez un cercle auxiliaire passant par A et B. Tracez une tangente à ce cercle auxiliaire depuis un point C (point d'intersection de la ligne donnée avec la droite AB). Reportez la longueur de cette tangente de C sur la ligne donnée, de part et d'autre, pour obtenir les points de tangence T1 et T2.

Élevez des perpendiculaires à la ligne donnée aux points T1 et T2. Les points d'intersection de ces perpendiculaires avec la médiatrice du segment AB sont les centres des cercles tangents recherchés.

Cercle tangent aux côtés d'un angle et passant par un point P

Tracez la bissectrice de l'angle. Projetez le point P sur la bissectrice pour trouver P'. Reliez P et P'. Tracez un cercle centré sur la bissectrice qui passe par P et P'. La construction se poursuit ensuite comme pour trouver un cercle tangent à une ligne et passant par deux points (en utilisant les points d'intersection du cercle auxiliaire avec les côtés de l'angle).

Cercles tangents à une ligne et à un cercle en un point T sur celui-ci

Reliez le centre du cercle donné au point T et prolongez cette ligne. Tracez une perpendiculaire à cette ligne prolongée, passant par T. Cette perpendiculaire coupe la ligne donnée.

Les centres des cercles tangents se trouveront sur les bissectrices des angles formés par la ligne donnée et la perpendiculaire en T. Plus précisément, ils seront à l'intersection de ces bissectrices avec la ligne reliant le centre du cercle donné à T.

Cercle tangent à un autre cercle et passant par deux points A et B

Reliez les points A et B. Tracez la médiatrice du segment AB. Construisez un cercle auxiliaire centré sur cette médiatrice et passant par A et B.

Tracez une ligne passant par A et B. Trouvez le point d'intersection de cette ligne avec le cercle donné (appelons-le C). À partir de C, tracez une tangente au cercle donné. Les points de tangence T1 et T2 sur le cercle donné sont trouvés en prolongeant la ligne joignant le centre du cercle donné à C.

Reliez le centre du cercle donné à T1 et T2. Prolongez ces lignes. Les points d'intersection de ces prolongements avec la médiatrice du segment AB sont les centres des cercles tangents recherchés.

Cercles tangents à deux autres cercles, en un point T sur l'un d'eux

1. Méthode 1: Reliez le centre du premier cercle au point T et prolongez cette ligne. Tracez une perpendiculaire à cette ligne passant par T. Construisez un cercle auxiliaire passant par T et coupant le deuxième cercle. Trouvez les points d'intersection (points d'urgence) de ce cercle auxiliaire avec le deuxième cercle. À partir de ces points, tracez des tangentes au deuxième cercle. La construction se poursuit ensuite comme pour trouver un cercle tangent à un cercle et à une ligne.
2. Méthode 2: À partir du point T, ajoutez ou soustrayez le rayon du deuxième cercle sur la ligne reliant T au centre du premier cercle. Reliez ce nouveau point au centre du deuxième cercle. Tracez la médiatrice de ce segment. Les points d'intersection de cette médiatrice avec la ligne reliant le centre du premier cercle à T sont les centres des cercles tangents recherchés.