Contrastes d'hypothèse et erreurs (Thème 1)

Thème 1 : Statistique — Hypothèse

Thème 1 : Statistique — Hypothèse : une allégation porte sur une caractéristique ou le paramètre d'une population dans le but d'effectuer une analyse. Elle peut être rejetée ou acceptée selon les informations que vous fournissez. Une alternative H₁ peut être simple (si vous avez seulement la valeur du paramètre étudié) ou composée (si elle admet plusieurs valeurs).

Importance : niveau

Importance — niveau : le niveau d'erreur de type I que nous sommes prêts à supporter, c'est-à-dire la probabilité d'erreur, exprimée en pourcentage, que nous sommes prêts à tolérer. On appelle taille de l'erreur de type I l'évaluation statistique définie par alpha (α).

Erreurs de type I et II

• Type I : α = P(rejeter H₀ | H₀ est vraie).
• Erreur de type II : β = P(accepter H₀ | H₁ est vraie).

Puissance d'un contraste

Puissance d'un test : une évaluation statistique donnée par P(rejeter H₀ | H₀ est fausse) = 1 − β.

Statistique et région d'acceptation

Statistique : une valeur que l'on obtient à partir d'un échantillon pour effectuer le test. Région d'acceptation : l'ensemble des valeurs possibles de la statistique pour lesquelles on accepte l'hypothèse nulle. Région critique : partie de la courbe de la distribution qui conduit au rejet de l'hypothèse nulle et qui contient l'erreur (niveau de confiance).

Inférence statistique

Inférence statistique : processus par lequel on peut tirer des conclusions sur la population à partir d'un échantillon donné.

Théorème de Neyman–Pearson

Théorème de Neyman–Pearson : utilisé pour trouver une région critique optimale et pour assurer qu'un test est le plus puissant possible. Pour son application, on suppose :

1. H₀ et H₁ doivent être simples.
2. On a besoin d'un échantillon de taille n.
3. On fixe un niveau de signification (taille de l'erreur de type I).
4. On considère la fonction de vraisemblance maximale sous H₀ et sous H₁.
5. Le critère est L₀(x) / L₁(x) ≤ k, où k est une constante positive.

Relations entre les erreurs de type I et II

1. β (bêta) n'est pas le complément de α. Le complément d'α est 1 − α.
2. Même si α et β sont liés, pour une valeur donnée de n, si α diminue alors β augmente : les probabilités d'erreurs de type I et II sont inversement corrélées.
3. α et β dépendent de la taille de l'échantillon et de la valeur du paramètre qui fait l'objet du contraste.

Étapes à suivre pour faire un contraste

1. Définir l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative.
2. Choisir un niveau de signification.
3. Vérifier les hypothèses (conditions d'application du test).
4. Déterminer si la valeur calculée de la statistique du test permet de rejeter ou d'accepter H₀.

Région uniformément la plus puissante

La région uniformément la plus puissante, quand elle existe, est obtenue par le principe de Neyman–Pearson ; elle est telle que, pour toute valeur du paramètre alternative, le test reste le plus puissant du même côté.

Cas où le théorème de Neyman–Pearson n'est pas applicable

Rapport de vraisemblance : lorsque l'on ne peut pas appliquer strictement le théorème de Neyman–Pearson (par exemple pour H₀ et H₁ composées), on suit une procédure générale qui :

1. coïncide avec Neyman–Pearson dans le cas d'hypothèses simples ;
2. ne garantit pas toujours l'obtention du test optimal ;
3. présente de bonnes propriétés pour l'échantillonnage ;
4. est basée sur le rapport des probabilités (rapport de vraisemblance) ;
5. ... et d'autres considérations pratiques peuvent s'appliquer.

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