Correction d'Exercices sur les Fonctions Exponentielles

Exercice 1

1) Étude de la fonction F

F est la somme de fonctions continues et dérivables sur $\mathbb{R}$, donc $F$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. D'après le cours, $(u+v)' = u'+v'$. La dérivée est $F'(x) = e^x - 1$.

Étude du signe de $F'(x)$

$e^x - 1 \ge 0 \iff e^x \ge 1 \iff e^x \ge e^0$.

Comme $e^x$ est une fonction toujours croissante sur $\mathbb{R}$, on a $x \ge 0$.

Donc $F$ est croissante sur $[0; +\infty[$ et décroissante sur $]-\infty ; 0 ]$.

2) Tableau de variation

$F(0) = e^0 - 0 - 1 = 1 - 1 = 0$. $0$ est le minimum de la fonction, donc $F(x) \ge 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

3) Définition de $k(x)$

Nous avons $e^x - x - 1 \ge 0$, ce qui implique $e^x - x \ge 1$.

Puisque $e^x - x \ge 1$, alors $e^x - x$ est toujours différent de $0$. Donc $k(x) = \frac{e^x - 1}{e^x - x}$ est bien définie pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Questions de cours

• $e^x > e^{x^2+1} \iff x > x^2+1$ car la fonction $(e^x)$ est strictement croissante. On a $e^a > e^b \iff a > b$.
• $(\forall x) \in \mathbb{R}, F'(x) = F(x) \iff F(x) = ke^x$, où $k \in \mathbb{R}$.
• Si $F(0) = 2$, alors $ke^0 = 2 \iff k = 2$. Donc $F(x) = 2e^x$.

3) Calcul d'expression

$A = \frac{e^3 \times e^4}{e^{-1} \times e^8} = \frac{e^{3+4}}{e^{-1+8}} = \frac{e^7}{e^7} = e^{7-7} = e^0 = 1$.

4) Étude de la décroissance de $f(x) = 5e^{-4x}$

1ère méthode : Utilisation de la dérivée

$f(x) = 5e^{-4x}$. Alors $f'(x) = 5 \times (-4)e^{-4x} = -20e^{-4x}$.

Puisque $-20 < 0$ et $e^{-4x} > 0$, alors par produit $f'(x) < 0$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

Méthode 2 : Utilisation des propriétés de la fonction exponentielle

• La fonction $(e^x)$ est strictement croissante.
• Donc la fonction $(e^{-4x})$ est strictement décroissante.
• Donc $f(x) = 5e^{-4x}$ est strictement décroissante.

Exercice 2

1) Montrer l'encadrement de $F_k(x)$

Montrons que pour tout $k \in \mathbb{R}$ et tout $x \in \mathbb{R}$, $0 \le F_k(x) \le 1$, où $F_k(x) = \frac{1}{1+e^{-kx}}$.

• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^{-kx} > 0$.
• Donc $1 + e^{-kx} > 1$.

Passage à l'inverse :

Puisque $1+e^{-kx} > 1$ et que $1$ est positif, on a : $\frac{1}{1+e^{-kx}} < 1$.

Comme le numérateur ($1$) est positif et le dénominateur ($1+e^{-kx}$) est positif, le quotient est positif.

Ainsi, $0 < \frac{1}{1+e^{-kx}} < 1$. Donc $0 < F_k(x) < 1$.

2) Cas où $k=0$

Si $k=0$, $F_0(x) = \frac{1}{1+e^0} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.

*(Note : La suite du calcul dans l'original semble concerner $F_1(x)$ après multiplication par $e^x/e^x$)*

Pour $F_1(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$, en multipliant par $\frac{e^x}{e^x}$ :

$$F_1(x) = \frac{1 \times e^x}{(1+e^{-x}) \times e^x} = \frac{e^x}{e^x + e^{-x}e^x} = \frac{e^x}{e^x + e^0} = \frac{e^x}{e^x+1}$$

3) Dérivée de $F_1$

$F_1'(x) = \left(\frac{e^x}{e^x+1}\right)' = \frac{e^x(e^x+1) - e^x(e^x)}{(e^x+1)^2} = \frac{e^{2x} + e^x - e^{2x}}{(e^x+1)^2} = \frac{e^x}{(e^x+1)^2}$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$ et $(e^x + 1)^2 > 0$. Donc par quotient, $F_1'(x) > 0$. $F_1$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

4) Relation entre $F_1$ et $F_{-1}$

a) Calcul de $F_1(x) + F_{-1}(x)$

$$F_1(x) + F_{-1}(x) = \frac{e^x}{e^x+1} + \frac{1}{1+e^{-x}}$$

En utilisant la forme simplifiée de $F_{-1}(x)$ (obtenue en multipliant par $e^x/e^x$ dans l'expression de $F_{-1}(x) = \frac{1}{1+e^{-(-1)x}} = \frac{1}{1+e^x}$):

$$F_1(x) + F_{-1}(x) = \frac{e^x}{e^x+1} + \frac{1}{1+e^x} = \frac{e^x+1}{e^x+1} = 1$$

B) Symétrie

Puisque $F_1(x) + F_{-1}(x) = 1$, alors $\frac{F_1(x) + F_{-1}(x)}{2} = \frac{1}{2}$.

Donc $C_1$ (courbe représentative de $F_1$) et $C_{-1}$ (courbe représentative de $F_{-1}$) sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = \frac{1}{2}$.