Design Expérimental : Concepts Clés et Méthodes d'Analyse

Qu'est-ce que le Design Expérimental ?

Le design expérimental est la planification rationnelle d'une expérience. Sa fonction est d'obtenir le maximum d'informations avec un minimum d'expérimentation, en se basant sur les résultats. Ces informations seront soumises à une analyse pour obtenir les preuves nécessaires à la validation ou l'invalidation des hypothèses précédemment établies.

Lien entre Planification et Hypothèse

La planification des expériences est intrinsèquement liée à l'approche du problème. La conception d'expériences vise à collecter un maximum d'informations de la réalité pour apporter une solution au problème. De la même manière, le dispositif expérimental est guidé par l'hypothèse, car il nous indique le type d'expérimentation à réaliser pour obtenir le maximum d'informations, les analyser et les comparer à l'hypothèse afin de fournir des solutions à nos problèmes.

Terminologie Clé du Design Expérimental

• Facteur : La variable indépendante dans une expérience. Ce sont les variables contrôlables qui peuvent influencer ou non la variable de réponse.
• Traitement : La combinaison des niveaux des facteurs dans l'expérimentation.
• Niveau : La valeur particulière d'un facteur.
• Réponse (Y) : La valeur de la variable dépendante pour chaque traitement dans l'expérimentation.
• Bloc : Une portion de matériau présentant des caractéristiques similaires mais non identiques.
• Effet : L'impact des facteurs, combinés ou séparément, sur la variable de réponse.

Types de Conceptions Expérimentales

• Conception Complètement Aléatoire : Les traitements sont assignés de manière complètement aléatoire, souvent en utilisant une table de nombres aléatoires.
• Conception en Blocs Aléatoires : Les traitements sont assignés au sein de blocs, en tenant compte des effets possibles des blocs pour réduire la variabilité.

L'Algorithme de Yates et les Contrastes

L'algorithme de Yates est une méthode très pratique pour calculer les contrastes de tous les effets étudiés dans une expérience. À partir des contrastes, il est possible d'obtenir la somme des carrés, et ainsi d'obtenir des preuves pour tester une hypothèse. Pour une conception de type Y = Y(A, B, C), correspondant à un plan factoriel 2³, un minimum de 8 expériences est requis. Dans l'algorithme de Yates, tous les traitements doivent être placés dans une colonne, et dans la colonne suivante, les valeurs de Y ou la somme des Y pour chaque traitement.

Pour le calcul des contrastes : la colonne (1) est divisée en deux parties ; les valeurs de Y sont regroupées par paires. Pour obtenir la partie supérieure de la colonne (1), on additionne les paires de valeurs de Y. Pour la partie inférieure, on soustrait les paires de valeurs. Pour la colonne (2), la même procédure est appliquée en utilisant les résultats de la colonne (1). Enfin, la colonne (3) correspond aux contrastes de chaque effet. À partir de ces contrastes, la somme des carrés des effets peut être déterminée pour effectuer une analyse.

Exemple de Tableau de l'Algorithme de Yates (Plan 2³)

Note : Les lettres C, O, N, T, R, A, S, T, E dans le texte original formaient probablement le mot "CONTRASTE" verticalement, indiquant la nature des valeurs dans la colonne (3).

La Conception Factorielle 2³

Dans la conception factorielle 2³, le nombre de traitements est de 8, correspondant aux combinaisons de 2 niveaux pour chacun des 3 facteurs. L'ordre d'exécution de l'expérience est choisi aléatoirement, souvent à l'aide d'une table de nombres aléatoires. Un numéro est attribué à chaque traitement et les conditions de randomisation sont préalablement déterminées. Ensuite, les données sont triées selon une norme pour obtenir la somme des carrés des traitements. L'algorithme de Yates pour cette conception est le même que celui expliqué précédemment. Par la suite, on établit le tableau d'analyse de la variance (ANOVA). S'il n'y a qu'une seule réplique, les effets d'ordre supérieur (comme l'interaction ABC) sont souvent considérés comme faisant partie de l'erreur expérimentale. Enfin, les contrastes des effets sont utilisés pour tester les hypothèses.

Interprétation des Résultats (Test F)

• Si F > F critique (ou F_seuil), rejeter H₀ (l'hypothèse nulle). Cela signifie que le facteur a une influence significative.
• Sinon, ne pas rejeter H₀, ce qui indique que le facteur n'influence pas de manière significative.

Plans Rotatifs

Les plans rotatifs (ou designs rotatifs) sont des modèles factoriels 2^k ou 2^(k-p) où les niveaux des facteurs varient simultanément, permettant une exploration efficace de l'espace expérimental.

Design Composite Central (DCC)

Le Design Composite Central (DCC) implique l'ajout de points supplémentaires à un plan factoriel, notamment des points centraux et des points axiaux (ou étoilés). Les points axiaux sont obtenus en ajout +α et -α à un facteur tout en maintenant les autres facteurs à leur valeur centrale.

Plans Factoriels à 2 Niveaux

Les plans factoriels à 2 niveaux sont conçus pour des hypothèses impliquant plusieurs facteurs, par exemple Y = f(A, B, C). Parmi ces plans, on trouve les plans factoriels complets, les plans factoriels fractionnaires, et les plans partiellement confondus.

Plans Partiellement Confondus

Dans les plans partiellement confondus, des répliques sont utilisées de manière à ce que chaque réplique confonde différents effets dans les blocs.

Plan Factoriel 2^k

Pour un plan factoriel 2^k (où k est le nombre de facteurs et 2 est le nombre de niveaux par facteur), le nombre total de traitements est 2^k. Ces traitements sont organisés dans une matrice de conception et triés avant d'être utilisés, par exemple, avec l'algorithme de Yates. L'analyse se termine généralement par une analyse de variance (ANOVA).