L'Enseignement de la Mesure et des Grandeurs chez l'Enfant : Concepts et Pédagogie

Introduction : Ampleur et Portée de la Mesure

"Le défi de l'éducation sera de trouver des situations d'enseignement qui permettent la construction du sens des concepts essentiels de la mesure, pour lequel l'étudiant sera impliqué, et qui devraient fournir les outils nécessaires pour fonctionner dans sa vie en tant que citoyen."

(Chamorro, 2003)

1. Genèse de l'idée de grandeur et de mesure chez l'enfant

1.1. Étapes pour aborder les grandeurs et la mesure

Pour que l'enfant commence à travailler avec les grandeurs et la mesure, plusieurs étapes sont essentielles :

• Prise en compte et perception d'une grandeur.
• Conservation de la grandeur.
• Relation d'ordre sur la grandeur.
• Correspondance entre les nombres et les quantités de grandeur.

1.1.1. Prise en compte et perception d'une grandeur

L'enfant doit prendre en compte les propriétés de l'objet ou de l'ensemble d'objets qui lui sont présentés, et ainsi différencier et distinguer, par un isolement ultérieur, la propriété traitée du reste des propriétés ou attributs qu'ils peuvent avoir.

1.1.2. Conservation de la grandeur

L'enfant doit identifier les changements qui peuvent affecter l'objet et entraîner des variations dans la mesure traitée, ainsi que ceux qui doivent rester invariants.

Au moment où les élèves ont acquis l'idée que, si l'objet change de position, de forme, de taille ou d'autres propriétés, une chose reste constante : cette "quelque chose" est précisément la grandeur sur laquelle nous voulons que les enfants soient attentifs.

1.1.3. Relation d'ordre sur la grandeur

Les propriétés qui définissent les grandeurs permettent de trier, naturellement, les objets traités. Lorsque l'enfant dépasse le stade de l'examen et de la perception de la grandeur et de sa conservation, il sera en mesure d'établir des relations entre les objets, et des comparaisons du type "plus que" ou "moins que". La possibilité d'ordonner est intrinsèque à la notion de grandeur.

1.1.4. Correspondance entre nombres et quantités de grandeur

La dernière étape correspond à la capacité de mesurer. Le fait de comparer les objets et leur manipulation ultérieure invite à examiner l'intensité de la relation "plus ou moins". Nous disons qu'un objet pèse deux fois plus que l'autre, trois fois plus, etc.

En ce qui concerne la construction de la notion de mesure, les études de Piaget indiquent que l'enfant doit passer par les étapes suivantes :

• Comparaison par perception directe
• Déplacement d'objets
• Exploitation de la propriété transitive : comparaisons indirectes.

1.1.5. Comparaison par perception directe

L'enfant compare par perception directe les objets tels qu'ils sont présentés et n'utilise pas de mesure commune ou de déplacement. Ce n'est que si la perception directe ne fournit pas suffisamment d'informations qu'il utilise des objets intermédiaires composés de parties de son corps (mains ou pieds, pour la longueur), mais comme simple support à la perception.

1.1.6. Déplacement d'objets

À ce stade, l'enfant ressent la nécessité de comparer les objets et de les déplacer suffisamment près pour en extraire des informations perceptives. Si cette approche ne peut être réalisée, des objets intermédiaires sont utilisés au-delà de son propre corps.

1.1.7. Exploitation de la propriété transitive

Avec les comparaisons effectuées aux étapes précédentes, l'enfant se sent capable d'effectuer des raisonnements tels que :

« Si a = b et b = c alors a = c »

Où l'élément b serait l'intermédiaire de la comparaison. Cette étape est liée à la conservation des quantités, car des transformations (déplacements et déformations) sont traitées, démontrant ainsi leur conservation.

Il est nécessaire et important de vérifier la propriété transitive chez les élèves. Souvent, c'est le souvenir visuel qui agit comme support pour cette propriété.

Il est intéressant de noter les différences dans l'utilisation de la propriété transitive que l'on peut trouver pour différentes grandeurs. Par exemple, plusieurs bandes de longueurs différentes peuvent être classées sur une échelle (comparaison visuelle / ordre total sans l'utilisation explicite de la propriété transitive). Pour la masse des objets avec une balance à double plateau, l'affichage de l'ordre total n'est pas possible. On observe dans ce cas des erreurs répétées et inutiles chez nos étudiants, ce qui démontre la nécessité d'acquérir les comparaisons transitives.

1.2. Stade de développement de la notion d'unité

Il est important de noter qu'au début, l'outil utilisé dans la comparaison des objets ne correspond pas au modèle ou à l'unité de mesure standard souvent utilisée.

La précision seule ne suffit pas à convaincre l'élève de la nécessité d'une unité ou d'une norme. Une fois que l'enfant a atteint l'exploitation de la propriété transitive et que la mesure est établie, il développe la notion d'unité, dont la constitution suit la progression suivante :

Théoriquement, l'établissement de l'unité comme exigence de sécurité. D'un point de vue pédagogique, amener l'élève à prendre conscience de l'importance et de la nécessité d'établir l'unité est un aspect clé d'une grande importance qui nécessite un traitement spécial. Il faut concevoir des situations d'enseignement qui permettent de découvrir le rôle joué par l'unité dans l'établissement de la mesure des grandeurs (Chamorro, 2003).

On peut distinguer cinq étapes dans la formation de l'unité de la grandeur :

• Le manque d'unité.
• L'unité-objet.
• L'unité contextuelle.
• L'unité figurale.
• L'unité autonome.

1.2.1. Le manque d'unité

La première approche de la mesure est fortement perceptive. Ainsi, deux objets sont comparés directement entre eux, mais cette stratégie montre rapidement ses limites en présence d'un troisième objet.

Exemple : Si l'enfant est confronté à la comparaison de trois récipients en termes de capacité, il peut comparer leur contenu sans même l'aide d'une unité de mesure.

1.2.2. L'unité-objet

À ce stade, l'enfant considère l'unité de mesure associée à l'objet lui-même. Les stratégies fréquemment observées sont l'utilisation des éléments constitutifs de l'objet à mesurer comme unité de mesure.

Exemple : Pour mesurer la capacité d'un liquide, si l'on propose différents récipients plus petits, il est courant que les enfants utilisent celui dont la forme est la plus similaire au récipient dont le contenu est mesuré.

1.2.3. L'unité contextuelle

À ce stade, l'unité de mesure dépend toujours de l'objet à mesurer, mais elle est adaptée à d'autres objets en fonction de la relation entre eux. Pour mesurer de petits objets, de petites unités sont utilisées ; pour mesurer de gros objets, des unités plus grandes que les précédentes sont utilisées.

1.2.4. L'unité figurale

L'unité à ce stade perd sa relation avec l'objet à mesurer, mais elle est toujours associée à des figures précises.

Ces stratégies sont observées dans la mesure de la capacité lorsque, par exemple, l'enfant dispose d'un certain nombre d'unités pour mesurer n'importe quel objet, ce qui équivaut à un véritable système d'unités pour cette grandeur, tout en maintenant la tendance à mesurer les objets volumineux avec de grandes unités et les petits objets avec de petites unités.

1.2.5. L'unité autonome

Lorsque l'unité parvient à se libérer de la forme de la figure, de la taille et de l'objet à mesurer lui-même, c'est alors que l'on obtient la construction de la notion d'unité de mesure, la même pour toutes les figures ou objets.

L'unité de grandeur n'est rien d'autre qu'une certaine quantité de grandeur particulière, mais elle n'est pas associée à une figure précise. Les premiers modèles émergent des parties du corps (mesures anthropométriques). Bien sûr, l'utilisation de ces unités peut donner de bons résultats lorsque la même personne mesure, mais la nécessité d'une unité de mesure uniforme est à l'origine de l'accord pour établir le système de mesure appelé le système métrique.

2. Étude des grandeurs : longueur, masse et capacité

2.1. La longueur chez l'enfant

La longueur est peut-être la grandeur élémentaire la plus travaillée dans l'enseignement, constituant dans la plupart des cas un intermédiaire pour beaucoup d'autres, ce qui peut entraver sa construction.

2.1.1. Longueur et distance

Lorsqu'il s'agit d'objets ayant un volume perceptible, appelés objets pleins, la grandeur de longueur est basée sur leur matière. La distance, cependant, se réfère à l'espace vide entre deux objets, ce qui implique un traitement différent de ces situations.

Les deux notions sont complémentaires, mais l'enfant peut éprouver des difficultés à faire le lien entre elles.

Pour construire efficacement la notion de distance, l'enfant doit développer trois notions fondamentales (Belmonte, 2005) :

• Conservation de la distance entre deux objets : Lorsque la distance entre deux objets est définie, elle est maintenue quelle que soit la disposition des objets entre eux.
• Symétrie de la distance : La distance entre A et B coïncide avec la distance entre B et A.
• Inégalité triangulaire : Pour un objet C placé entre A et B, la distance entre A et C ou entre B et C est inférieure à la distance entre A et B.

Piaget indique que jusqu'à 7 ans, ces propriétés ne sont pas consolidées.

2.1.2. Conservation des longueurs

Trois aspects expliquent les difficultés rencontrées par l'élève pour isoler la longueur : les changements de position, les changements de forme et la décomposition/recomposition.

• Les changements de position : Les enfants ne peuvent pas conserver l'égalité de deux longueurs si l'une d'elles subit un déplacement, en raison d'une fixation exclusive sur les points d'extrémité.
• Les changements de forme : L'enfant a tendance à porter des jugements basés sur des éléments non essentiels à l'évaluation de la longueur, tels que la position des extrémités, le nombre de courbes ou le nombre de segments. Il privilégie les lignes droites ou le nombre de segments.

2.2. La masse chez l'enfant

La grandeur de la masse est l'une des plus sujettes aux erreurs de perception sensorielle.

D'un point de vue physique, il faut faire la différence entre la masse et le poids, car ce sont des grandeurs différentes. Mais cela ne doit pas faire oublier la complémentarité de ces grandeurs, puisque le poids des objets est ce qui nous permet d'apprécier leur masse.

Deux principaux aspects expliquent les difficultés rencontrées par l'élève pour isoler la grandeur de la masse : le volume et la décomposition/recomposition.

• Volume : Il est courant de classer perceptivement la masse des objets en fonction de leur volume. Il faut être attentif à cet aspect car si l'on utilise des objets vides, l'élève peut considérer qu'ils ne contiennent rien, car ils ne pèsent rien.
• Décomposition / recomposition : Comme dans le cas de la longueur, l'élève peut porter des jugements erronés sur la conservation de la masse d'un objet après qu'il a été décomposé et recomposé. Ainsi, si l'on décompose une motte d'argile en plusieurs morceaux, l'enfant peut penser que la masse résultante n'est pas la même.

2.3. La capacité chez l'enfant

La capacité est souvent considérée comme équivalente à la grandeur du volume, mais ce n'est pas le cas. Bien que physiquement liées, leurs modèles mathématiques diffèrent : la capacité est une mesure de volume, tandis que le volume est une grandeur tridimensionnelle.

Les principaux aspects à souligner dans l'acquisition de cette grandeur sont : la forme et la décomposition/recomposition.

• La forme : Pour deux récipients de forme différente, il est courant d'évaluer la capacité par la hauteur. Chez les enfants d'un certain âge, même si le transfert de liquide se fait en leur présence, la perception visuelle du niveau prévaut sur la quantité réelle de liquide.
• Décomposition / recomposition : Comme dans le cas d'autres grandeurs, l'élève peut porter des jugements erronés sur la conservation de la capacité d'un objet après qu'il a été décomposé et recomposé. Ainsi, si l'on transvase le contenu d'un récipient dans un autre, l'enfant peut penser que la quantité de liquide n'est plus la même.

3. Ressources pédagogiques : le problème de la mesure

On part d'un ensemble d'objets et on met en évidence l'un de leurs attributs mesurables, ce qui permettra la construction mathématique d'une grandeur.

Les sens fournissent des informations concernant l'évaluation de ces propriétés ou attributs, et permettent ainsi de partitionner l'ensemble des objets traités. Chacune de ces partitions (classes d'équivalence en termes mathématiques) est ce qu'on appelle une grandeur.

Chaque grandeur est formée par une série d'équivalences.

Si l'on prend deux objets de masse avec des quantités différentes, nous pouvons dire que l'un est plus lourd que l'autre et établir leur ordre.

La transposition didactique de la mesure des grandeurs se caractérise, entre autres, par l'existence d'une variété de termes et un vocabulaire fluctuant, utilisant indifféremment des concepts mathématiques et des notions de nature sociale.

3.1. Lacunes et problèmes dans l'enseignement-apprentissage des grandeurs

• L'incapacité des élèves à distinguer différentes grandeurs.
• Changement d'unités. Ordre de grandeur.

La mesure est presque toujours fictive et avec une forte ostension, qui vise à remplacer la mesure réelle des objets concrets (objets concrets exprimés par un nombre et une unité qui soutient la plupart des activités proposées en classe).

C'est pourquoi les notions de rapprochement, d'estimation et de manipulation d'une grandeur ne sont pas souvent traitées en classe.

• L'ignorance des méthodes usuelles de mesure.
• Numératie de la mesure.
• Vocabulaire.
• Dialectique mesure exacte / approximative.
• Rôle des erreurs.

"Il est donc clair qu'il y a une substitution de la connaissance dans laquelle les vrais problèmes de mesure sont remplacés par des problèmes d'arithmétique, le processus de mesure par l'utilisation de formules, les conversions et les exercices, qui occupent plus de la moitié du temps de travail passé sur la mesure, car ils sont un exercice en décimal."

(Chamorro, 2003, p. 229)

3.2. Progression des activités et matériaux pédagogiques

Le travail pour la construction d'une progression des grandeurs consiste en une classification des activités de manipulation et, si possible, une séquence d'enseignement-apprentissage pourrait être :

Pour la progression de ces activités, il sera nécessaire de disposer en classe d'objets en nombre suffisant et variés, afin de fournir des contextes riches aux étudiants et d'encourager l'établissement de relations et de comparaisons, confrontant ainsi l'élève, autant que possible, aux difficultés concernant l'isolement de la grandeur.

• Longueur : En superposant les extrémités de deux bandes, on peut déterminer laquelle est la plus longue. Ce n'est que lorsqu'aucune comparaison directe n'est possible (par exemple : est-ce une porte d'armoire ?) qu'il faudra utiliser des mesures intermédiaires, comme il est indiqué pour la longueur mesurée, faire une encoche (sur un cordon utilisé) pour faire la comparaison avec l'autre objet à mesurer, ou recouvrir une surface en superposant des unités.

Exemples de comparaison directe de la mesure :

• Capacité : Lorsqu'il s'agit de transvaser du liquide d'un récipient à un autre, les jugements basés sur la hauteur des récipients sont souvent sources d'erreur.
• Masse : Lorsque l'on effectue une pesée d'objets dans les mains ou sur le double plateau d'une balance, le plateau qui descend indique l'objet le plus lourd.
• Temps : Lorsque nous faisons des comparaisons de cette grandeur, il est très difficile d'ignorer la subjectivité des événements. Cela exige une grande capacité de raisonnement et de déduction à ce sujet. D'une certaine manière, si nous comparons le début de deux événements, il est facile de voir lequel commence le plus tôt.

3.3. Le système métrique

Il est important de noter que dans le document original, cette section était numérotée "3.3" mais placée avant la section "3. Ressources de traitement". Je l'ai déplacée ici pour respecter une progression logique.

Le système métrique est un ensemble d'unités de mesure standardisées. Voici un aperçu des grandeurs et de leurs symboles :

3.3.1. Matériaux pédagogiques

Pour l'enseignement des grandeurs, divers matériaux peuvent être utilisés :

• Masse : Balance à double plateau, sable, objets de différentes masses.
• Longueur : Corde ou matériau souple, bande rigide, ruban à mesurer, règles, etc.
• Capacité : Eau ou autre liquide, sable, récipients de différentes formes et tailles, cylindres gradués, etc.
• Temps : Sablier, chronomètre, minuterie, etc.
• Surface : Papier calque, papier millimétré, ciseaux, tangram, etc.
• Volume : Polycubes, solides à assembler, etc.