Géométrie Plane et Spatiale : Concepts Clés

Géométrie Plane et Géométrie de l'Espace

La géométrie plane est la partie de la géométrie qui considère les figures dont tous les points sont situés sur un même plan. La géométrie de l'espace considère les figures dont les points ne sont pas tous situés sur le même plan.

• Géométrie descriptive : Résout les problèmes de la géométrie de l'espace par le biais d'opérations effectuées dans un plan et représente les figures solides.
• Géométrie projective : Étudie les figures projetées sur un plan.
• Géométrie analytique : Étudie les figures en utilisant un système de coordonnées et les méthodes de l'analyse mathématique.

Sections Coniques et Surfaces de Révolution

• Conique : Intersection d'un cône avec un plan. Elles sont classées en trois types : ellipse, parabole et hyperbole.
• Hyperboloïde : Surface de révolution engendrée par la rotation d'une hyperbole autour de l'un de ses deux axes.
• Hyperbole : Lieu des points du plan dont la différence des distances à deux points fixes appelés foyers est constante et inférieure à la distance entre les foyers.
• Ellipse : Lieu des points du plan dont la somme des distances à deux points fixes appelés foyers est constante.
• Parabole : Lieu des points du plan équidistants d'un point fixe appelé foyer et d'une ligne appelée directrice.

Éléments Géométriques Fondamentaux

• Droite : Succession indéterminée de points dans une seule dimension continue.
• Rayon : Chacune des deux parties dans lesquelles une droite est divisée par l'un de ses points.
• Point : Élément géométrique sans dimension, décrivant une position dans l'espace, déterminée selon un système de coordonnées prédéterminé.

Polyèdres et Polygones

• Polyèdre : Figure solide dont les faces sont planes et contiennent un volume fini.
• Prisme : Polyèdre composé de deux faces parallèles et égales appelées bases, et dont les faces latérales sont des parallélogrammes.
• Polyèdre convexe : Polyèdre dans lequel tout segment joignant deux points intérieurs est entièrement contenu à l'intérieur.
• Polygone : Figure géométrique formée par des segments consécutifs non alignés.
  • Simple : Si deux arêtes non consécutives ne se croisent pas.
  • Complexe : Si deux arêtes non consécutives se croisent.
  • Convexe : Si une ligne le coupant le coupe en au plus deux points.
  • Concave : Si une ligne le coupant peut le couper en plus de deux points.
  • Régulier : Si tous ses angles et côtés sont égaux.
  • Irrégulier : Si ses angles et côtés sont inégaux.
  • Triangle équilatéral : Triangle dont tous les côtés sont égaux.
  • Triangle équiangle : Triangle dont tous les angles sont égaux.
• Cuboid : Polyèdre à six faces (hexaèdre), dont toutes les faces sont des parallélogrammes, parallèles et égales deux à deux.
• Polyligne : Ensemble ordonné de segments tels que l'extrémité de l'un coïncide avec l'origine du segment suivant. Un polygone est composé d'une polyligne fermée.

Droites et Points Remarquables

• Médiatrice : Droite perpendiculaire à un segment en son milieu.
• Parallélépipède : Polyèdre à six faces (hexaèdre), dont toutes les faces sont des parallélogrammes, parallèles et égales deux à deux.
• Bissectrice : Droite qui divise un angle en deux parties égales. Lieu des points équidistants des côtés d'un angle.
• Génératrice : Ligne dont le mouvement engendre une figure géométrique.
  • Courbes générées par des génératrices :
    • Cycloïde : Courbe plane générée par un point d'un cercle roulant sur une ligne droite sans glisser.
    • Épicycloïde : Courbe décrite par un point d'un cercle roulant sans glisser sur un cercle directeur.
    • Hypocycloïde : Courbe décrite par un point d'un cercle roulant à l'intérieur d'un autre cercle sans glisser.
    • Trochoïde : Courbe plane décrite par un point lié à un cercle roulant sur une ligne droite.
    • Épitrochoïde : Courbe décrite par un point lié à un cercle roulant sur un cercle directeur.
    • Hypotrochoïde : Courbe plane décrite par un point lié à un cercle roulant à l'intérieur d'un cercle directeur.

Autres Concepts

• Plan : Objet idéal qui n'a que deux dimensions et contient une infinité de points et de droites.
• Demi-plan : Chacune des deux parties dans lesquelles un plan est divisé par une droite.
• Isométrique : Méthode de représentation graphique, forme cylindrique orthogonale.
• Perspective cavalière : Système de projection parallèle oblique où les dimensions du plan frontal sont en vraie grandeur.
• Système conique : Système de projection où le faisceau converge en un point (l'œil de l'observateur).
• Point de vue axonométrique : Système graphique représentant des éléments géométriques ou des volumes sur un plan, par projection orthogonale.
• Projection orthogonale : Projection dont les lignes projetantes sont perpendiculaires au plan de projection.
• Sommet : Point où convergent les deux rayons qui forment un angle.
• Angle : Portion de plan comprise entre deux rayons ayant la même origine.
• Angle dièdre : Angle formé par deux demi-plans ayant une droite commune pour origine.
• Angle solide : Mesure de la taille apparente d'un objet vu d'un point donné.
• Centre du cercle circonscrit : Point d'intersection des trois médiatrices d'un triangle.
• Sphère : Corps solide délimité par une surface courbe dont tous les points sont à égale distance d'un point intérieur appelé centre.
• Cône : Solide de révolution engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour de l'un de ses côtés.
• Cylindre : Surface formée par les points situés à une distance fixe d'une droite donnée (l'axe). Surface de révolution obtenue par la rotation d'une droite autour d'un axe.
• Triangle: Polygone déterminé par trois droites qui se coupent deux à deux en trois points non alignés.

Instruments de Dessin

• Compas : Instrument utilisé pour tracer des cercles ou des arcs.
  • Compas de traçage : Possède deux branches réglables se terminant par une pointe en fer et une mine.
  • Compas à balustre : Permet de conserver un rayon d'ouverture fixe grâce à une vis.
  • Compas à pointe sèche (ou compas fou) : Spécialement conçu pour tracer des cercles de très petit rayon.
  • Compas d'or : Instrument à trois branches permettant de diviser une ligne en moyenne et extrême raison.
• Rapporteur : Instrument pour mesurer les angles en degrés.
  • Rapporteur simple : Gradué à 180° ou 200 grades.
  • Rapporteur circulaire : Gradué à 360° ou 400 grades.
• Équerre : Modèle en forme de triangle rectangle utilisé pour le dessin.
• Règle : Instrument de mesure avec une forme rectangulaire mince.
• Biseau: Modèle en forme de triangle scalène utilisé pour le dessin.
• Stylo : Instrument de dessin ou d'écriture composé d'une fine baguette de pigment.
• Scalimètre : Règle spéciale à section prismatique permettant de mesurer des dessins à différentes échelles.
• Stylographe : Outil de dessin technique et d'écriture contenant un réservoir d'encre liquide.