Géométrie : Théorèmes et Trigonométrie

Théorème des milieux

La droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté. Le segment joignant les milieux de deux côtés d'un triangle a pour longueur la moitié de celle du troisième côté. La droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle et parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu.

Droites remarquables

• Médiane : Segment reliant un sommet au milieu du côté opposé.
• Médiatrice : Droite perpendiculaire à un segment en son milieu.
• Bissectrice : Droite qui coupe un angle en deux angles égaux.
• Hauteur : Droite perpendiculaire à un côté passant par le sommet opposé.

Propriétés des droites remarquables

• Tout point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
• Tout point de la bissectrice d'un angle est à égale distance des deux côtés de l'angle.
• Le point de concours des médianes (G), appelé centre de gravité, vérifie : GA = (2/3)AA' (où A' est le milieu du côté opposé à A).
• Les droites remarquables d'un triangle sont toujours concourantes en des points particuliers :
  • Hauteurs : Orthocentre
  • Médiatrices : Centre du cercle circonscrit
  • Bissectrices : Centre du cercle inscrit
  • Médianes : Centre de gravité

Triangle rectangle et cercle circonscrit

• Si le triangle ABC est rectangle en C, alors la médiane CI (où I est le milieu de [AB]) vérifie : CI = (1/2)AB.
• Si le milieu d'un côté d'un triangle est le centre du cercle circonscrit à ce triangle, alors le triangle est rectangle.
• Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un des côtés est un diamètre, alors le triangle est rectangle.
• Pour tout point M d'un cercle de diamètre [AB] (M différent de A et de B), le triangle MAB est rectangle en M.

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle : hypoténuse² = (côté₁)² + (côté₂)²

La diagonale d'un carré de côté a mesure : a√2

La hauteur d'un triangle équilatéral de côté a mesure: (a√3)/2

Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre

Dans un cercle, un angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

Trigonométrie dans le triangle rectangle

• sin x = côté opposé / hypoténuse
• cos x = côté adjacent / hypoténuse
• tan x = côté opposé / côté adjacent

Relations trigonométriques

• cos²x + sin²x = 1
• tan x = sin x / cos x

Tableau des valeurs remarquables

(Le tableau des valeurs remarquables devrait être inséré ici, mais il n'était pas fourni dans le HTML original. Il est recommandé de l'ajouter pour compléter le document.)