Guide Complet: Combinatoire, Probabilités et Statistiques

Introduction à la Combinatoire

La combinatoire propose des procédures et les formules nécessaires pour compter les manières possibles de choisir un ensemble d'éléments aux fonctionnalités particulières.

Concepts Fondamentaux en Combinatoire

• Permutation: En considérant tous les éléments d'un ensemble fini dans tous les ordres possibles, nous obtenons une permutation.
• Arrangement (ou Ordonnancement): Un arrangement de K éléments est un groupe ordonné de K éléments sélectionnés parmi un ensemble total, où les éléments sont distincts ou leur ordre est différent.

Concepts Clés en Probabilités

La théorie des probabilités est essentielle pour comprendre l'incertitude.

• Expérience: Un processus de mesure ou toute observation dont le résultat est incertain.
• Espace Échantillon: L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience. Il est souvent désigné par Ω (Omega) ou S.
• Événement: Un sous-ensemble de l'espace échantillon. Il regroupe les éléments de l'espace échantillon qui répondent à une condition donnée. Les événements sont généralement désignés par une lettre majuscule de l'alphabet, par exemple A, B, C, etc.
• Probabilité d'un Événement: Les événements désignés par les lettres A, B, C, etc., ont une probabilité associée, désignée par P(A), P(B), P(C), etc.

Définition Classique de la Probabilité

La probabilité d'un événement, d'un point de vue classique, est le rapport entre le nombre de résultats favorables à l'événement et le nombre total de résultats élémentaires de l'expérience, tous également probables.

Types d'Événements et Probabilités

• Événements Indépendants: Deux événements sont indépendants lorsque la survenance de l'un n'a aucun effet sur l'apparition de l'autre. La probabilité d'un événement n'affecte pas la probabilité de l'autre.
• Probabilité Conditionnelle: On parle de probabilité conditionnelle lorsque, pour deux événements, le résultat de l'un d'eux est déjà connu, c'est-à-dire que l'on sait ce qui s'est passé avant l'autre.

Problèmes Pratiques de Combinatoire et Probabilités

Problèmes de Combinatoire

1. Arrangement d'objets distincts

   De combien de manières distinctes puis-je disposer 3 oranges et 2 pommes, sans que deux fruits identiques ne soient côte à côte ?

2. Permutations de cartes

   De combien de manières puis-je ordonner les 4 as d'un jeu de cartes espagnol ?

3. Groupes de fleurs

   Combien de groupes différents peuvent être formés avec 5 fleurs de différentes variétés ?
   Solution: Chaque fleur peut être sélectionnée ou non. Ces deux possibilités se produisent pour chaque fleur, donnant un total de 2⁵ options. Cependant, il faut exclure l'option de ne choisir aucune fleur. Ainsi, le nombre de groupes est 2⁵ - 1 = 31.
   Autre méthode: La somme des combinaisons C(5,1) + C(5,2) + C(5,3) + C(5,4) + C(5,5) = 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31. En général, pour tout entier positif n, ∑_k=1ⁿ C(n,k) = 2ⁿ - 1.

4. Formation de mots

   Avec 7 consonnes et 5 voyelles, combien de mots (sans signification) peuvent être formés avec 4 consonnes et 3 voyelles différentes ?
   Solution: Les 4 consonnes peuvent être choisies parmi 7 de C(7,4) manières. Les 3 voyelles peuvent être choisies parmi 5 de C(5,3) manières. Les 7 lettres choisies peuvent être arrangées de 7! façons. Ainsi, le nombre requis est: C(7,4) × C(5,3) × 7! = 35 × 10 × 5040 = 1 764 000.

Problèmes de Probabilités

1. Événement simple

   Nous avons une boîte de 5 boules rouges. Tirer deux boules rouges est un événement.

2. Taille de l'espace échantillon

   On tire une carte d'un jeu de 50 cartes et on lance un dé à 6 faces. Combien d'éléments l'espace échantillon contient-il ?

3. Probabilité d'un événement impossible

   On tire une carte d'un jeu espagnol. Quelle est la probabilité de tirer un 7 ?

4. Intervalle de probabilité

   La probabilité d'un événement A est-elle toujours dans l'intervalle [0, 1] ?

5. Probabilité d'un nombre pair

   On choisit un nombre aléatoire de 1 à 10. Calculer la probabilité de choisir un nombre pair.

6. Somme de dés

   On lance 2 dés numérotés de 1 à 6. Calculer la probabilité que la somme des 2 dés soit 11.

7. Tirage de boules

   Une boîte contient 18 boules rouges et 12 boules blanches. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?

8. Tirage de billes

   Dans un sac, il y a 18 billes de verre, 12 billes de pierre et 10 billes d'argile. Si nous prenons une bille au hasard, quelle est la probabilité que ce soit une bille de verre ou de pierre ?

9. Tirage de boules (suite)

   Une boîte contient 8 boules rouges, 3 blanches et 9 bleues. Si 3 boules sont tirées au hasard, déterminer la probabilité des événements suivants:

   • a) Les 3 boules sont rouges

     Solution: Désignons par R1, R2 et R3 les événements « la première boule est rouge », « la seconde boule est rouge » et « la troisième boule est rouge », respectivement. Alors, P(R1 et R2 et R3) = P(R1) × P(R2|R1) × P(R3|R1, R2) = (8/20) × (7/19) × (6/18) = 14/285.

   • b) 2 boules sont rouges et 1 est blanche

     Solution: P(2 rouges et 1 blanche) = (C(8,2) × C(3,1)) / C(20,3) = (28 × 3) / 1140 = 84 / 1140 = 7/95.

Espérance Mathématique

Calcul de l'Espérance

1. Billet de tombola

   Un billet de tombola offre 2 prix: un de 50 000 $ et un autre de 20 000 $, avec les probabilités de 0,001 et 0,003 respectivement. Quel serait un juste prix à payer en utilisant l'espérance mathématique ?
   Solution: Son espérance mathématique est (50 000 $) × (0,001) + (20 000 $) × (0,003) = 50 $ + 60 $ = 110 $. C'est le juste prix.

2. Entreprise risquée

   Dans une entreprise risquée, une femme peut gagner 3 000 $ avec une probabilité de 0,6 ou perdre 1 000 $ avec une probabilité de 0,4. Trouver sa valeur attendue.
   Solution: Sa valeur attendue est (3 000 $) × (0,6) + (-1 000 $) × (0,4) = 1 800 $ - 400 $ = 1 400 $.

3. Tirage de boules avec gain

   Un sac contient 2 boules blanches et 3 boules noires. Chacune des quatre personnes A, B, C et D, dans cet ordre, reçoit une boule sans remise. La première personne à tirer une boule blanche reçoit 10 $. Déterminer l'espérance mathématique de A, B, C et D.
   Solution: Comme il n'y a que 2 boules blanches, une victoire est possible pour les deux premières tentatives. Soient A, B, C et D les événements où A gagne, B gagne, C gagne et D gagne respectivement.

   • P(A) = 2/5. La valeur attendue de A = (2/5) × 10 $ = 4 $.
   • P(A perd et B gagne) = P(A perd) × P(B gagne | A perd) = (3/5) × (2/4) = 3/10. La valeur attendue de B = (3/10) × 10 $ = 3 $.
   • P(A perd, B perd et C gagne) = P(A perd) × P(B perd | A perd) × P(C gagne | A et B perdent) = (3/5) × (2/4) × (2/3) = 1/5. L'espérance mathématique de C = (1/5) × 10 $ = 2 $.
   • P(A, B et C perdent et D gagne) = P(A perd) × P(B perd | A perd) × P(C perd | A et B perdent) × P(D gagne | A, B et C perdent) = (3/5) × (2/4) × (1/3) × (2/2) = 1/10. L'espérance mathématique de D = (1/10) × 10 $ = 1 $.

   Vérification: Somme des espérances = 4 $ + 3 $ + 2 $ + 1 $ = 10 $. Somme des probabilités = 2/5 + 3/10 + 1/5 + 1/10 = 4/10 + 3/10 + 2/10 + 1/10 = 1.

Statistiques et Distribution Normale

Calculs de Scores Standardisés (Z-scores)

1. Examen physique

   Dans un examen physique, le score idéal est de 150 points et l'écart type est de 18.

   • a) Calculer la moyenne

     Solution: Si un score de 150 correspond à un Z-score de 3,5, alors 3,5 = (150 - µ) / 18 ⇒ 63 = 150 - µ ⇒ µ = 150 - 63 ⇒ µ = 87.

   • b) Scores standardisés (Z-scores) des étudiants:

     • i) Score de 35: Z = (35 - 87) / 18 = -2,89
     • ii) Score de 60: Z = (60 - 87) / 18 = -1,5
     • iii) Score de 100: Z = (100 - 87) / 18 = 0,72

   • c) Scores bruts à partir des scores standardisés:

     • i) Z = -2: X = 87 + (-2 × 18) = 51
     • ii) Z = 2,95: X = 87 + (2,95 × 18) = 140,1

Calculs d'Aires sous la Courbe Normale

Calculer les aires sous la courbe normale standard pour les intervalles suivants:

1. a) Entre Z = 0 et Z = 1,7

   Solution: P(0 < Z < 1,7) = 0,4554

2. b) Entre Z = -0,68 et Z = 0

   Solution: P(-0,68 < Z < 0) = 0,2518

3. c) Entre Z = -0,56 et Z = 2,41

   Solution: P(-0,56 < Z < 2,41) = P(-0,56 < Z < 0) + P(0 < Z < 2,41) = 0,2123 + 0,4920 = 0,7043

4. d) Entre Z = 0,91 et Z = 2,94

   Solution: P(0,91 < Z < 2,94) = P(0 < Z < 2,94) - P(0 < Z < 0,91) = 0,4984 - 0,3186 = 0,1798

5. e) À gauche de Z = -0,9

   Solution: P(Z < -0,9) = 0,5 - P(0 < Z < 0,9) = 0,5 - 0,3159 = 0,1841

6. f) À droite de Z = -1,28

   Solution: P(Z > -1,28) = P(-1,28 < Z < 0) + 0,5 = 0,3997 + 0,5 = 0,8997

7. g) À droite de Z = 3,05 ou à gauche de Z = -1,54

   Solution: P(Z > 3,05) = 0,5 - P(0 < Z < 3,05) = 0,5 - 0,4989 = 0,0011
   P(Z < -1,54) = 0,5 - P(0 < Z < 1,54) = 0,5 - 0,4382 = 0,0618
   P(Z > 3,05 ou Z < -1,54) = 0,0011 + 0,0618 = 0,0629

Application de la Distribution Normale

Le poids moyen de 1000 étudiants masculins d'une certaine université est de 62 kilogrammes (kg) et l'écart type est de 8 kg. On présume que les poids sont normalement distribués. Déterminer combien d'étudiants pèsent:

1. a) Entre 54 kg et 70,5 kg

   Solution:
   Score Z pour 54 kg: Z1 = (54 - 62) / 8 = -1
   Score Z pour 70,5 kg: Z2 = (70,5 - 62) / 8 = 1,06
   P(-1 < Z < 1,06) = P(-1 < Z < 0) + P(0 < Z < 1,06) = 0,3413 + 0,3554 = 0,6967
   Nombre d'étudiants: 0,6967 × 1000 ≈ 697

2. b) Plus de 80 kg

   Solution:
   Score Z pour 80,5 kg: Z = (80,5 - 62) / 8 = 2,31
   P(Z > 2,31) = 0,5 - P(0 < Z < 2,31) = 0,5 - 0,4896 = 0,0104
   Nombre d'étudiants: 0,0104 × 1000 ≈ 10

3. c) Moins de 47,4 kg

   Solution:
   Score Z pour 47 kg: Z = (47 - 62) / 8 = -1,88
   P(Z < -1,88) = 0,5 - P(0 < Z < 1,88) = 0,5 - 0,4699 = 0,0301
   Nombre d'étudiants: 0,0301 × 1000 ≈ 30