Guide Complet sur les Matrices : Opérations et Types

Méthode de Gauss pour l'inversion de matrice

Soit A = (a_i,j) une matrice carrée d'ordre n. Pour calculer la matrice inverse de A, notée A^-1, procédez comme suit :

Étapes de l'algorithme

1. Étape 1 : Construction de la matrice augmentée

   Construire une matrice M de dimension n x 2n, M = (A | I), c'est-à-dire que A est dans la moitié gauche de M et la matrice identité I sur la droite.

2. Étape 2 : Transformation en matrice triangulaire

   La première ligne de M est laissée telle quelle. En dessous du premier terme de la diagonale principale, a₁₁, appelé pivot, mettez des zéros. Procédez ensuite comme décrit dans l'exemple suivant.

Exemple d'application

Considérons une matrice arbitraire 3x3.

Les étapes 1 et 2 sont appliquées.

La prochaine étape est la même que ci-dessus, mais cette fois, prenez comme pivot le second terme sur la diagonale.

Pour le dernier terme sur la diagonale, on procède comme précédemment, mais en plaçant des zéros au-dessus du nouveau pivot. Il est à noter qu'en choisissant le dernier terme de la diagonale comme pivot, la matrice A devient une matrice triangulaire.

Finalisation et vérification

Une fois toutes les étapes terminées, la moitié gauche de la matrice M devient une matrice diagonale. À ce stade, elle doit être transformée en matrice identité, si nécessaire en divisant les lignes de M par un scalaire.

Exemple :

Supposons que nous voulons trouver l'inverse de [Matrice A ici].

Nous commençons par construire la matrice M = (A | I) : [Matrice M ici]

La moitié gauche de M est triangulaire, donc A est inversible. S'il y avait eu une ligne de zéros au milieu de la partie A de M, l'opération se serait terminée (A n'est pas inversible).

Puis nous prenons a₃₃ comme pivot, plaçons des zéros au-dessus et continuons l'opération jusqu'à obtenir une matrice diagonale.

Puisque la matrice située dans la moitié gauche est diagonale, nous n'avons plus d'opérations à effectuer. Pour transformer la matrice diagonale en matrice identité, nous devons diviser la deuxième rangée par -1 : [Matrice M après division]

La matrice obtenue dans la moitié droite de M est précisément l'inverse de A : [Matrice A^-1 ici]

Pour vérifier si le résultat est correct, multipliez A par A^-1 ; le résultat doit être la matrice identité I.

Vérification :

A A^-1 = I

Types de matrices

Matrice ligne

Une matrice ligne est composée d'une seule rangée.

Matrice colonne

La matrice colonne a une seule colonne.

Matrice rectangulaire

La matrice rectangulaire a un nombre différent de lignes et de colonnes, de dimension M x N.

Matrice carrée

La matrice carrée a le même nombre de lignes et de colonnes.

Les éléments a_ii forment la diagonale principale.

Les éléments a_ij dont la somme des indices est constante (i + j = n + 1) forment la diagonale secondaire.

Matrice nulle

Dans une matrice nulle, tous les éléments sont des zéros.

Matrice triangulaire supérieure

Dans une matrice triangulaire supérieure, les éléments situés en dessous de la diagonale principale sont des zéros.

Matrice triangulaire inférieure

Dans une matrice triangulaire inférieure, les éléments situés au-dessus de la diagonale principale sont des zéros.

Matrice diagonale

Dans une matrice diagonale, tous les éléments au-dessus et en dessous de la diagonale principale sont nuls.

Matrice scalaire

Une matrice scalaire est une matrice diagonale dont les éléments de la diagonale principale sont égaux.

Matrice identité ou unité

Une matrice identité est une matrice diagonale dont les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1.

Matrice transposée

Étant donné une matrice A, la matrice transposée de A, notée A^t, est obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes.

• (A^t)^t = A
• (A + B)^t = A^t + B^t
• (k · A)^t = k · A^t
• (A • B)^t = B^t • A^t

Matrice régulière

Une matrice régulière est une matrice carrée qui possède un inverse.

Matrice singulière

Une matrice singulière n'a pas d'inverse.

Matrice idempotente

Une matrice A est idempotente si :

A² = A.

Matrice involutive

Une matrice A est involutive si :

A² = I.

Matrice symétrique

Une matrice symétrique est une matrice carrée qui vérifie :

A = A^t.

Matrice antisymétrique ou hémisymétrique

Une matrice antisymétrique ou hémisymétrique est une matrice carrée qui vérifie :

A = -A^t.

Matrice orthogonale

Une matrice A est orthogonale si elle vérifie :

A • A^t = I.

Opérations sur les matrices

Addition de matrices

Étant donné deux matrices de même dimension, A = (a_ij) et B = (b_ij), leur somme est définie comme : A + B = (a_ij + b_ij). C'est-à-dire que la matrice résultante est obtenue en additionnant les éléments des deux matrices qui occupent la même position.

Propriétés de l'addition

• Associativité : A + (B + C) = (A + B) + C
• Commutativité : A + B = B + A
• Élément neutre : (matrice nulle 0_m×n) 0 + A = A = A + 0
• Élément symétrique : (matrice opposée de A) A + (-A) = (-A) + A = 0

Multiplication de matrices

Deux matrices A et B peuvent être multipliées si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.

M_m×n × M_n×p = M_m×p

L'élément c_ij de la matrice produit est obtenu en multipliant chaque élément de la ligne i de la matrice A par chaque élément de la colonne j de la matrice B, puis en additionnant les résultats.

Propriétés du produit matriciel

• Associativité : A • (B • C) = (A • B) • C
• Élément neutre : A • I = A
  Où I est la matrice identité de même ordre que la matrice A.
• Non-commutativité : A • B ≠ B • A
• Distributivité sur l'addition : A • (B + C) = A • B + A • C