Guide de Construction de Polygones et Tangentes

Poursuite du triangle équilatéral connaissant son côté :

1. Dessinez un segment AB avec la valeur donnée du côté.
2. En utilisant successivement les centres des sommets A et B, avec un compas ouvert égal à AB, tracez deux arcs qui déterminent le point C, le sommet opposé au côté AB.
3. L'ordre du triangle est obtenu par assemblage de C avec A et B.

Construction du carré connaissant son côté :

1. Le côté AB est donné.
2. Tracez une ligne perpendiculaire à chacun des sommets A et B avec une équerre.
3. De A, tracez une droite oblique formant un angle de 45° avec le côté AB. Cette ligne détermine le point C pour couper la perpendiculaire tirée à 6.
4. Il suffit de tracer une parallèle à AB et à C, et nous obtenons le carré.

Construction du pentagone connaissant son côté :

1. Le côté AB est dessiné avec la valeur donnée et sa bissectrice est tracée, ce qui permet d'obtenir le point P.
2. Tracez une ligne perpendiculaire à B, et de ce point, avec un compas, tracez un arc qui détermine le point J à couper la perpendiculaire tirée.
3. Avec le rayon et le centre P, tracez un arc qui coupe à M à l'extension de AB.
4. Tracez un arc avec le compas ouvert AM qui définit le point D sur la bissectrice.
5. Enfin, tracez des arcs dont le centre est D, A et B, avec un rayon égal au côté AB. Ces arcs, en se coupant, déterminent les points C et E, les sommets du pentagone. Le pentagone est obtenu en reliant les points C, D et E avec les extrémités A et B.

Construction de l'hexagone régulier connaissant son côté :

Un hexagone régulier est le seul polygone dans lequel l'égalité tient entre les côtés et le rayon du cercle circonscrit. Cela facilite la construction, car si nous donnons la valeur du côté ou du rayon, nous pouvons toujours construire de la même manière.

1. Tracez un cercle de rayon r égal au côté et un diamètre AB en tant que AD.
2. Avec le centre A et le rayon AO, décrivez un arc coupant le cercle aux points E et F. De même, avec le centre D et le rayon JO, tracez un arc qui coupe le cercle aux points C et G.
3. En reliant ces points ensemble, nous obtenons l'hexagone.

Construction de l'heptagone régulier connaissant son côté :

1. Dessinez le côté AB et tracez une perpendiculaire à une extrémité, par exemple 8. Retracez également la bissectrice de ce côté.
2. À l'extrémité A, sur AB, construisez un angle de 30°, prolongeant le côté pour couper la perpendiculaire menée du 8 au point P. Pour ce faire, l'angle formé doit être de 30°.
3. Avec le centre A et le rayon AP, décrivez un arc qui coupe la perpendiculaire.

Tangence :

On dit que deux figures sont tangentes si elles ont un point en commun, connu sous le nom de point de contact. L'union harmonieuse entre les courbes et les lignes droites ou courbes est appelée lien, et ce lien doit se produire par contact.

Les tangences peuvent se produire entre les milieux, entre les cercles et les droites, entre les polygones et les lignes, y compris des cercles et des polygones, etc. Toutefois, les tangentes communes dans la plupart des motifs géométriques sont celles produites entre les lignes et les cercles, ainsi qu'entre les cercles.

Propriétés de base des tangentes :

1. Premier théorème : Une ligne est tangente à un cercle lorsqu'ils ont chacun un seul point (M) commun, et la ligne est perpendiculaire au rayon du cercle au point M.
2. Deuxième théorème : Un cercle est tangent à deux droites sécantes si son établissement est situé dans la bissectrice entre les deux droites.
3. Troisième théorème : Deux cercles sont tangents s'ils ont un point en commun (N) aligné avec les centres des cercles.

Construction d'une tangente à un cercle à partir d'un point P :

1. Tracez le rayon reliant le centre O au point P.
2. Tracez une ligne perpendiculaire au rayon au point P, qui est la tangente demandée.

Construction de tangentes à partir d'un point extérieur P :

1. Reliez le point P avec le centre du cercle O, et tracez la médiatrice du segment OP, obtenant ainsi le point H.
2. Avec le rayon HO comme centre, dessinez un arc qui coupe le cercle donné aux points M et M', qui sont les points de contact.
3. Les lignes r et s sont tangentes, reliant le point P avec M et M'.

Dessin d'un cercle de rayon r connu tangent à deux lignes convergentes :

1. Tracez la bissectrice pour déterminer les lignes droites.
2. Tracez une ligne droite parallèle à l'une des lignes données, séparée d'elle d'une mesure égale au rayon r connu.
3. L'intersection de la bissectrice est le centre du cercle à tracer.

Dessin d'un cercle passant par les points A et P, tangent à la ligne :

1. Les points M et P doivent être des points sur le cercle que vous souhaitez dessiner, le centre doit être sur la bissectrice de MP.
2. Lorsque la tangente au point P sur la ligne r, le centre O du cercle est situé là où la perpendiculaire tirée coupe MP.

Construction de tangentes extérieures à deux cercles :

1. Reliez les points O et O', où O est le milieu de O'O', que nous appelons H.
2. Tracez un cercle concentrique avec un rayon égal à la différence entre les rayons mineurs et majeurs.
3. Avec le centre H et le rayon HO, dessinez un arc qui coupe le cercle auxiliaire aux points M et M'.
4. Reliez M et M', ce qui entraîne les points U et V.
5. Les rayons sont établis pour les lignes parallèles UO et pour obtenir les points S et T.

Dessin d'un cercle tangent à deux cercles connus :

1. Reliez les points O et O' pour déterminer le milieu de O'O', qui est H.
2. Tracez un cercle de rayon r plus r' avec le centre O.
3. Tracez un autre cercle de rayon HO avec le centre H, qui remplace le précédent et réduit les points M et M'.
4. Reliez les points M et M' avec O, ce qui donne M.

Tracer un cercle de rayon r tangent connu à l'extérieur d'un autre cercle :

1. Étendez un rayon de O qui contient le point P.
2. Ajoutez le rayon r de P et O pour obtenir le point.
3. Enfin, tracez le cercle de centre O' et de rayon O'P.

Dessin d'un cercle tangent à d'autres connus en un point M :

1. Lorsque les points M et N sont sur le cercle, son centre sera sur la bissectrice de MW.
2. Reliez M et O, où la coupe perpendiculaire vous donne le centre de la circonférence O'D, qui est dessiné avec le rayon O'N.

Dessin d'un cercle de rayon r connu tangent à un autre cercle et à une ligne donnée :

1. Tracez un arc dont le centre est O et ayant pour rayon la somme du rayon du cercle donné et du rayon connu.
2. Tracez une ligne parallèle à celle donnée, à la distance du rayon connu.
3. L'intersection de cette parallèle avec l'arc est le centre du cercle recherché, et les points M et N sont les points de contact.