Principe de la Coupe et Équilibre des Forces Internes

Analyse d'un Corps en Équilibre par Coupe

Considérons (fig. 1.1) le schéma rendu libre d’un corps en équilibre sous l’action des forces extérieures $P_1, P_2, \dots P_5$. Coupons-le en 2 parties $G$ et $D$ par une surface quelconque et désignons par $S$ la section créée dans le corps. Affectons de l’indice $g$ les forces extérieures situées à gauche de la section $S$ et de l’indice $d$ celles situées à droite.

Le corps étudié est en équilibre, l’ensemble des forces extérieures $P_j$ satisfait aux six équations connues de la statique :

• $\sum P_{j,g} + \sum P_{j,d} = 0$
• $\sum O A_{j,g} \times P_{j,g} + \sum O A_{j,d} \times P_{j,d} = 0$

où $O$ est un pôle quelconque et $A_j$ le point d’application de la force $P_j$.

Détermination des Forces Internes

Supposons maintenant que l’on désire évaluer les forces intérieures ($f_{zsint}$) qui sont transmises à travers la section $S$ par la partie $D$ du corps sur la partie $G$. Comment arriver à connaître ces forces intérieures, alors que la mécanique rationnelle ne fournit que des énoncés sur les forces extérieures ($f_{zsext}$) ?

La réponse est évidente : il faut transformer les forces intérieures en forces extérieures. Pour ce faire, il suffit de supprimer par la pensée la partie droite ($D$). La partie gauche ($G$) reste en équilibre, comme dans son état initial, sous l’action des forces extérieures $P_{j,g}$ et d’autres forces $F_d$, qui doivent prendre en tous points la place des forces intérieures dans la section $S$ par la partie droite du corps (fig. 1.2).

Désignons par $R_d$ la résultante des forces $F_d$ et par $M_{O,d}$ le moment résultant de ces forces par rapport au pôle $O$. L’équilibre du tronçon de gauche (appelé schéma rendu libre de la figure 1.2a) du corps proposé exige que l’on vérifie :

$$\sum P_{j,g} + R_d = 0; \quad \sum O A_{j,g} \times P_{j,g} + M_{O,d} = 0 \quad (1.2)$$

Cas symétrique

(On aurait tout aussi bien pu supprimer la partie $G$ du corps proposé et remplacer son effet sur la partie $D$ par des forces $F_g$ qui prennent en tous points de la section $S$ la place des forces intérieures transmises dans la section $S$ par la partie $G$ du corps. On aurait obtenu alors les équations d’équilibre (schéma rendu libre de la figure 1.2b) :)

$$\sum P_{j,d} + R_g = 0; \quad \sum O A_{j,d} \times P_{j,d} + M_{O,g} = 0 \quad (1.3)$$

Relations entre les Forces Internes

Si l’on additionne membre à membre les équations (1.2) et (1.3), et que l’on tient compte des égalités (1.1), on obtient les relations :

$$\begin{cases} R_g + R_d = 0 \\ M_{O,g} + M_{O,d} = 0 \end{cases} \quad (1.4)$$

Ainsi donc, les forces intérieures évoquées à gauche de la section $S$ font équilibre à celles évoquées à droite, ce que l’on aurait pu d’ailleurs affirmer d’emblée en évoquant le principe de l’égalité de l’action et de la réaction.

On peut donc remplacer les forces intérieures à gauche par les forces intérieures à droite changées de signe, dans les égalités (1.2) et (1.3), ce qui donne :

$$\begin{cases} \sum P_{j,g} = R_g \\ \sum O A_{j,g} \times P_{j,g} = M_{O,g} \end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases} \sum P_{j,d} = R_d \\ \sum O A_{j,d} \times P_{j,d} = M_{O,d} \end{cases} \quad (1.5) \text{ et } (1.6)$$

Principe de la Coupe

Les considérations qui précèdent peuvent se résumer dans le principe de la coupe :

Principe de la Coupe 1

Dans tout solide en équilibre sous l’action de forces extérieures :

1. les forces intérieures qui s’exercent de part et d’autre d’une section quelconque se font équilibre ;
2. les forces intérieures transmises d’un côté de la section à l’autre côté font équilibre à toutes les forces extérieures appliquées depuis cette section jusqu’à l’extrémité opposée du corps considéré ;
3. elles sont statiquement équivalentes à l’ensemble des forces extérieures appliquées du même côté de la section.