Proportionnalité : Définitions, Tableaux et Applications

La Proportionnalité : Concepts Clés

Définitions de la Proportionnalité

N23. Deux grandeurs sont proportionnelles si, lorsqu’on multiplie (ou on divise) une des grandeurs par un nombre, alors l'autre grandeur est automatiquement multipliée (ou divisée) aussi par le même nombre.

N24. Deux grandeurs sont proportionnelles quand on obtient les valeurs de l'une en multipliant les valeurs correspondantes de l'autre par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité.

Tableaux de Proportionnalité

Reconnaître un Tableau de Proportionnalité

Application pratique : comment reconnaître et prouver si on a un tableau de proportionnalité ?

• On divise les nombres de la deuxième ligne par les nombres correspondants de la première ligne.
• Si tous les quotients sont égaux, il y a proportionnalité et ce quotient est le coefficient de proportionnalité.
• Si au moins un des quotients est différent des autres, il n’y a pas proportionnalité (inutile de calculer les quotients suivants dans ce cas).

Compléter un Tableau de Proportionnalité

Vocabulaire : La Quatrième Proportionnelle

Dans une situation de proportionnalité, si on connaît trois valeurs sur quatre du tableau, on peut calculer la valeur manquante du tableau de proportionnalité appelée « quatrième proportionnelle ».

Méthodes pour Compléter un Tableau

Utilisation des Lignes (Coefficient de Proportionnalité)

N26. Compléter un tableau de proportionnalité en utilisant ses lignes et le coefficient de proportionnalité :

• On peut obtenir un nombre de la deuxième ligne en multipliant le nombre correspondant de la première ligne par le coefficient de proportionnalité.
• On peut obtenir un nombre de la première ligne en divisant le nombre correspondant de la deuxième ligne par le coefficient de proportionnalité.

Utilisation des Colonnes (Rapports de Linéarité)

N27. Compléter un tableau de proportionnalité en utilisant ses colonnes et des rapports de linéarité :

On peut compléter un tableau de proportionnalité :

• En passant d’une colonne à l’autre en multipliant ou en divisant par un même nombre (= un rapport de linéarité).
• On peut aussi ajouter ou soustraire les nombres correspondants de deux colonnes pour obtenir une troisième colonne (propriété de linéarité additive).

Méthode du Passage à l’Unité (Règle de Trois)

N28. Compléter un tableau de proportionnalité en utilisant la méthode du passage à l’unité ou “règle de trois” :

Quand on a une situation de proportionnalité, on peut chercher un nombre manquant en passant d’abord par l’unité (par ex. prix d’1 Kg, d’1 L, etc., ce qui revient à trouver le coefficient de proportionnalité) ; puis on calcule la valeur cherchée.

Exemple : question : Si je parcours 8 m en 5 s, combien vais-je parcourir (à la même vitesse) en 13 s ?

Solution rédigée : Je parcours 8 m en 5 s, donc en 1 s je parcours 5 fois moins (8 : 5 = 1,6). Je parcours 1,6 m en 1 s, donc en 13 s je parcours 13 fois plus (1,6 × 13 = 20,8), c’est-à-dire 20,8 m.

Remarque : le “passage à l’unité” (1,6 m en 1 s) revient à chercher le coefficient de proportionnalité : la vitesse 1,6 m/s.

Pourcentages

Définition d'un Pourcentage

N29. Un pourcentage est une proportion qui peut s’écrire comme une fraction de dénominateur 100 : a % = a/100.

Quelques exemples : 50 % = 0,5 = 50/100 = 1/2 ; 25 % = 0,25 = 25/100 = 1/4 ; 37,5 % = 0,375 = 37,5/100 = 3/8.

Calculer une Part en Pourcentage

Comment calculer une part en pourcentage ?

Pour calculer une part en pourcentage, on cherche la fraction de dénominateur 100 qui est égale à la proportion étudiée (ou à peu près égale dans le cas d’un calcul approché).

Exemple pratique : question : Dans une classe de 28 élèves, 21 ont un ordinateur personnel ; calculer la proportion en pourcentage des élèves de la classe qui ont un ordinateur personnel :

Méthode : On calcule la proportion : 21/28. On la convertit en pourcentage : (21/28) × 100 = (3/4) × 100 = 0,75 × 100 = 75 %.

Réponse : 75 % des élèves de cette classe ont un ordinateur personnel.

Appliquer un Pourcentage

N31. Comment appliquer un pourcentage a % ?

Pour calculer a % d’une quantité, on multiplie la quantité par a/100.

Augmenter ou Diminuer une Quantité

N32. Comment augmenter (ou diminuer) une quantité de a % ?

Pour augmenter une quantité q de a %, on multiplie q par (1 + a/100).

Pour diminuer une quantité q de a %, on multiplie q par (1 - a/100).

Statistiques et Proportionnalité

Fréquence Statistique

N33. Fréquence dans un tableau statistique : La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total ; une fréquence est donc un nombre compris entre 0 et 1 ; elle s’exprime comme une fraction (irréductible ou non), un nombre décimal ou un pourcentage (ces deux derniers pouvant être des valeurs approchées).

Exemple : dans une classe de 30 élèves, si 5 ont obtenu la note 12 : 5 est l'effectif correspondant à la note (= valeur) 12.

La fréquence de la note 12 est : 5/30 = 1/6 ≈ 0,167 ≈ 16,7 %.

Diagrammes Statistiques

Il y a différents types de diagrammes, suivant le type de données représentées, mais tous les diagrammes sont toujours basés sur la proportionnalité. Dans les diagrammes à bâtons, à barres, en tuyaux d'orgue et histogrammes (si rectangles de même largeur), la hauteur des bâtons ou des barres est proportionnelle aux effectifs ou aux fréquences.

Diagramme Circulaire ou Semi-circulaire

N35. Diagramme circulaire (ou semi-circulaire) :

Dans un diagramme circulaire, les angles des secteurs angulaires sont proportionnels aux effectifs (ou aux fréquences) de chaque catégorie et l’effectif total ou 100 % correspond à 360º.

Dans un diagramme semi-circulaire, les angles des secteurs angulaires sont proportionnels aux effectifs (ou aux fréquences) de chaque catégorie et l’effectif total ou 100 % correspond à 180º.

Ne pas oublier la légende à côté du diagramme.

Échelle d'un Plan

Définition de l'Échelle

N34. Sur un plan à échelle, les longueurs tracées sur le plan sont proportionnelles aux distances réelles.

L’échelle du plan est le coefficient de proportionnalité lorsque ces longueurs sont exprimées dans la même unité.

Échelle du plan = (distance sur le plan) / (distance réelle) (numérateur et dénominateur avec la même unité)

Exemple : sur un plan à l’échelle 1 : 100 000, une longueur 1 cm représente une distance réelle de 100 000 cm = 1 km.