Propriétés et Définitions des Parallélogrammes et Quadrilatères

Le Parallélogramme : Définition et Centre de Symétrie

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles (deux à deux).

Un quadrilatère qui a un centre de symétrie est un parallélogramme : le centre de symétrie d’un parallélogramme est le point d’intersection de ses diagonales.

Vocabulaire : le point d’intersection des diagonales d’un parallélogramme est appelé le centre du parallélogramme.

Propriétés Fondamentales des Parallélogrammes

• *G55. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont le même milieu (se coupent en leur milieu).
• G56. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles.
• *G57. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur.
• *G58. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure.
• *G59. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles consécutifs sont supplémentaires.

Conditions Suffisantes pour Déterminer un Parallélogramme

• *G60. Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
• *G61. Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c’est un parallélogramme.
• *G62. Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés deux à deux de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
• *G63. Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
• *G64. Si un quadrilatère non croisé a ses angles opposés deux à deux de même mesure, alors c’est un parallélogramme.

Définitions des Parallélogrammes Particuliers

Le Rectangle

G65. Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

Le Losange

• Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.

Le Carré

• Un carré est à la fois un rectangle et un losange, donc il a quatre angles droits et quatre côtés égaux.

Propriétés Communes des Parallélogrammes Particuliers

G66. Rectangle, losange et carré sont des parallélogrammes particuliers, donc ils ont en commun toutes les propriétés des parallélogrammes :

• Leurs côtés opposés sont parallèles et égaux deux à deux.
• Leurs angles opposés sont égaux deux à deux.
• Leurs angles consécutifs sont supplémentaires.
• Leurs diagonales ont le même milieu.

Propriétés Spécifiques

• Propriétés particulières du rectangle : il a quatre angles droits et ses diagonales ont la même longueur.
• Propriétés particulières du losange : il a ses quatre côtés égaux et ses diagonales sont perpendiculaires.
• Le carré a toutes les propriétés précédentes puisque c’est un parallélogramme, un rectangle et un losange.

Axes de Symétrie

G67. Rectangle, losange et carré sont des parallélogrammes particuliers, donc ont un centre de symétrie : le point d’intersection des diagonales.

• Un rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
• Un losange a deux axes de symétrie : ses diagonales.
• Un carré est à la fois un rectangle et un losange, donc il a quatre axes de symétrie.

Conditions pour Déterminer un Rectangle

• G67. Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est un rectangle.
• Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu et sont égales, alors c’est un rectangle.
• Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.
• Si les diagonales d’un parallélogramme sont égales, alors c’est un rectangle.

Conditions pour Déterminer un Losange

• G68. Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur (égaux), alors c’est un losange.
• Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu et sont perpendiculaires, alors c’est un losange.
• Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.
• Si les diagonales d’un parallélogramme sont perpendiculaires, alors c’est un losange.

Conditions pour Déterminer un Carré

• G69. Si un parallélogramme a un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un carré.
• Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu et la même longueur et sont perpendiculaires, alors c’est un carré.
• Si les diagonales d’un parallélogramme ont la même longueur et sont perpendiculaires, alors c’est un carré.