Résistance des Matériaux : Forces Internes et Contraintes Simples

Résistance des matériaux

La résistance des matériaux prolonge l'étude des forces commencée en mécanique, mais il y a une différence évidente entre les deux domaines. Le domaine de la mécanique couvre principalement les relations entre les forces agissant sur un corps solide. En statique, on étudie les solides en équilibre, tandis que la dynamique étudie les solides en mouvement ; on peut toutefois établir un équilibre dynamique en introduisant des forces d'inertie.

Contrairement à la mécanique, la résistance des matériaux étudie et établit la relation entre les charges externes appliquées et leurs effets à l'intérieur du solide. De plus, elle ne considère pas les solides comme parfaitement indéformables ; au contraire, les déformations, même petites, sont d'un grand intérêt. Les propriétés des matériaux constituant une structure ou une machine influencent leur choix lors de la conception, car ils doivent satisfaire à des conditions de résistance et de rigidité.

Les différences entre la mécanique d'un corps rigide et la résistance des matériaux peuvent être mieux illustrées par l'exemple suivant : déterminer la force (figure 1-1) nécessaire à l'extrémité d'un levier pour soulever un poids donné est un problème de statique simple. La somme des moments par rapport au point d'appui détermine la valeur de P. Cette solution statique suppose que le levier est suffisamment rigide et solide pour fonctionner correctement. Cependant, la résistance des matériaux offre une analyse plus complète. Il est nécessaire d'étudier la barre elle-même pour s'assurer qu'elle ne se brisera pas ou qu'elle ne sera pas si souple qu'elle se pliera sans soulever la charge.

Analyse des forces internes

Considérons un solide de forme quelconque sur lequel agit un certain nombre de forces, comme illustré à la figure 1-2. En mécanique, on détermine la résultante des forces appliquées pour savoir si le solide est en équilibre. Si la résultante est nulle, la condition d'équilibre statique, qui doit généralement exister dans les structures, est remplie. Si la résultante n'est pas nulle, on peut obtenir un équilibre dynamique en introduisant les forces d'inertie dans le système.

Pour étudier la résistance, on analyse la distribution interne des efforts produits par un système de forces extérieures appliquées. Pour ce faire, on réalise une coupe imaginaire dans le solide à travers une section d'analyse. On examine ensuite les forces qui doivent agir sur cette section pour maintenir l'équilibre de chacune des deux parties isolées du corps.

En général, le système des forces internes est équivalent à une force résultante et à un couple résultant. Pour plus de commodité, ils sont décomposés selon la normale et la tangente à la section. L'origine du système d'axes de coordonnées est toujours placée au centre de gravité, qui est le point de référence de la section. Si l'axe X est normal à la section, celle-ci est appelée face X. L'orientation des axes Y et Z dans le plan de la section est généralement choisie pour coïncider avec les axes principaux d'inertie de cette section.

La notation utilisée (figure 1-3) identifie à la fois la face sur laquelle s'exerce l'action et la direction des composantes de force et de moment. Le premier indice indique la face sur laquelle agit la composante, et le second, sa direction. Par conséquent, Pxy est la force agissant sur la face X dans la direction Y.

Figure 1-3. Composants des efforts internes sur une section d'analyse.

Chaque composante représente un effet distinct des forces sur le solide au niveau de cette section et porte un nom spécifique :

• Pxx : Force axiale. Cette composante correspond à la traction ou à la compression sur la section. La traction est une force d'extension qui tend à allonger le solide, tandis que la compression est une force qui tend à le raccourcir. Elle est généralement notée P.
• Pxy, Pxz : Effort tranchant. Ce sont les composantes de la résistance totale au glissement d'une partie du solide par rapport à l'autre. L'effort tranchant total est généralement noté V, et ses composantes, Vy et Vz, déterminent sa direction.
• Mxx : Moment de torsion. Cette composante mesure la résistance à la torsion du solide considéré et est généralement notée T.
• Mxy, Mxz : Moment de flexion. Ces composantes mesurent la résistance du corps à la flexion autour des axes Y ou Z. Elles sont habituellement notées simplement My et Mz, respectivement.

Contrainte simple

La force par unité de surface qu'un matériau supporte est souvent appelée contrainte (notée σ) et s'exprime mathématiquement sous la forme :
σ = P / A (1.1)
où σ est la contrainte, P est la charge appliquée et A est l'aire de la section transversale.

Notez que la contrainte maximale de traction ou de compression se produit dans une section perpendiculaire à la charge (figure 1-4). Cependant, même une expression aussi simple que l'équation (1.1) nécessite un examen attentif. En divisant la charge par l'aire de la section, on n'obtient pas la valeur de la contrainte en chaque point de celle-ci, mais seulement sa valeur moyenne. Une détermination précise de la contrainte nécessite de diviser la force différentielle dP par l'élément de surface différentielle dA sur lequel elle agit : σ = dP/dA.

La situation dans laquelle la contrainte est constante ou uniforme est appelée état de contrainte simple. Une répartition homogène de la contrainte ne peut exister que si la résultante des forces appliquées passe par le centre de gravité de la section considérée.

Problème d'application n°1

Énoncé

Un tube en aluminium est fixé rigidement entre une tige de laiton et une tige d'acier. Comme le montre la figure, des charges axiales sont appliquées aux positions indiquées. Déterminez la contrainte dans chaque matériau.

Solution

Pour calculer la contrainte dans chaque section, il faut d'abord déterminer la charge axiale dans chacune d'elles. Les diagrammes de corps libre appropriés permettent de déterminer la charge axiale dans chaque section :

• P(laiton) = 20 kN (compression)
• P(aluminium) = 5 kN (compression)
• P(acier) = 10 kN (tension)