Thermodynamique : Chaleur, Travail et Première Loi

Résumé

Le transfert d'énergie thermique est une forme de transfert d'énergie survenant à la suite d'une différence de température. L'énergie interne d'une substance est fonction de son état et augmente généralement lorsque la température augmente.

Concepts Clés

• La calorie est la quantité de chaleur nécessaire pour élever la température de 1 g d'eau de 14,5 °C à 15,5 °C.
• L'équivalent mécanique de la chaleur est 4186 J/cal.
• La capacité thermique C de toute substance est définie comme la quantité d'énergie thermique nécessaire pour élever la température d'une substance d'un degré Celsius. L'énergie thermique nécessaire pour changer la température d'une substance de ΔT est :
  Q = mcΔT
  où m est la masse de la substance et c est sa chaleur spécifique.
• L'énergie thermique nécessaire pour modifier la phase d'une substance pure de masse m est :
  Q = mL
  Le paramètre L est appelé chaleur latente de la substance et dépend de la nature de la transition de phase et des propriétés de la substance.
• Le travail effectué par un gaz lorsqu'il change son volume d'un volume initial V_i à un volume final V_f est :
  W = ∫_Vi^V_f P dV
  où P est la pression, qui peut varier au cours du processus. Pour évaluer W, il faut préciser la nature du processus, c'est-à-dire que P et V doivent être connus à chaque étape. Le travail effectué dépend donc de la trajectoire entre les états initial et final.

La Première Loi de la Thermodynamique

Quand un système subit un changement d'un état à un autre, le changement d'énergie interne est :
ΔU = Q - W
où Q est la chaleur transférée au (ou du) système et W est le travail effectué par (ou sur) le système. Bien que Q et W dépendent de la trajectoire de l'état initial à l'état final, la quantité ΔU est indépendante de la trajectoire.

Processus Thermodynamiques

• Dans un processus cyclique (celui qui commence et se termine dans le même état), ΔU = 0, et donc, Q = W. Cela signifie que l'énergie thermique transférée au système équivaut au travail effectué au cours du cycle.
• Un processus adiabatique est celui dans lequel aucune chaleur n'est transférée entre le système et ses environs (Q = 0). Dans ce cas, la première loi donne :
  ΔU = - W
  Autrement dit, les changements d'énergie interne résultent du travail qui est fait par (ou sur) le système.
• Dans une détente adiabatique libre d'un gaz, Q = 0 et W = 0, donc ΔU = 0. C'est-à-dire que l'énergie interne du gaz ne change pas dans ce processus.
• Un processus isovolumétrique est celui qui se produit à volume constant. Aucun travail d'expansion n'est fait dans un processus ayant ces caractéristiques (W=0).
• Un processus isobare est celui qui survient à une pression constante. Le travail effectué dans un processus de ce type est pΔV.
• Un processus isotherme est un processus en cours à température constante. Le travail fait par un gaz parfait lors d'un processus isotherme réversible est :
  W = nRT ln (V_f / V_i)

Modes de Transfert de Chaleur

La chaleur peut être transférée par conduction, convection et rayonnement.

• La conduction peut être considérée comme un échange d'énergie cinétique entre molécules ou électrons qui entrent en collision. Le taux auquel la chaleur s'écoule par conduction à travers une plaque de surface A est :
  H = - kA (dT/dx)
  où k est la conductivité thermique et dT/dx est le gradient de température.
• Dans la convection, la substance chauffée se déplace d'un endroit à l'autre.
• Rayonnement
  Tous les corps rayonnent et absorbent de l'énergie sous forme d'ondes électromagnétiques. Un corps qui est plus chaud que l'environnement rayonne plus d'énergie qu'il n'en absorbe, tandis qu'un corps qui est plus froid que l'environnement absorbe plus d'énergie qu'il n'en rayonne. L'énergie nette gagnée ou perdue par seconde par un objet par rayonnement est :
  P_net = σAe (T⁴ - T₀⁴)

Exemples Appliqués

Exemple 1 : Perdre du poids à la dure

Un étudiant consomme 2000 calories (alimentaires). Vous voulez faire une quantité équivalente de travail au gymnase en soulevant une masse de 50,0 kg. Combien de fois faut-il soulever la masse pour consommer cette grande quantité d'énergie ? Supposons que le poids parcourt une distance de 2,00 m à chaque levée et ne regagne pas d'énergie en retombant au sol.

Remarque : L'unité utilisée par les nutritionnistes est la calorie alimentaire et équivaut à 1000 calories = 4186 J.

Solution : Puisque 1 Kcal = 1,00 x 10³ cal, le travail nécessaire est de 2,00 x 10⁶ cal. Convertir cette valeur en J, on obtient la somme de travail nécessaire est :
W = (2,00 x 10⁶ cal) (4186 J/cal) = 8,37 x 10⁶ J
Le travail effectué pour soulever la masse d'une distance h est égal à mgh, et le travail total effectué pour soulever n fois est nmgh. En comparant cela au travail total requis W = 8,37 x 10⁶ J, nous obtenons :
n = W / (mgh) = (8,37 x 10⁶ J) / [(50,0 kg) (9,80 m/s²) (2,00 m)] = 8,54 x 10³ fois
Si l'étudiant est en bonne forme et soulève le poids une fois toutes les 5 s, cela prendrait environ 12 heures pour accomplir cet exploit. Il est beaucoup plus facile de perdre du poids en suivant un régime.

Exemple 2 : Refroidissement d'un lingot chaud

Un lingot de 0,0500 kg de métal est chauffé à 200,0 °C puis placé dans un bécher contenant 0,400 kg d'eau initialement à 20,0 °C. Si la température d'équilibre final du système est de 22,4 °C, quelle est la chaleur spécifique du métal ?

Solution : Parce que l'énergie thermique perdue par la barre est égale à l'énergie thermique acquise par l'eau, nous pouvons écrire :
m_métalc_métal(T_{initiale, métal} - T_finale) = m_eauc_eau(T_finale - T_{initiale, eau})
(0,0500 kg) (c_métal) (200,0 °C - 22,4 °C) = (0,400 kg) (4186 J/(kg·°C)) (22,4 °C - 20,0 °C)
D'où l'on trouve :
c_métal = 453 J/(kg·°C)
Il est probable que le lingot soit en fer, comme le suggère la comparaison du résultat avec les données du tableau 1.

Exercice. Quelle est l'énergie thermique totale transférée à l'eau lorsque le lingot est refroidi ?

Réponse : 4020 J.

Exemple 3 : Un sport de cow-boy

Un cow-boy tire une balle en argent de 2,00 g de masse avec une vitesse de 200 m/s contre un mur en pin dans un bar.

Supposons que toute l'énergie interne générée par l'impact reste dans la balle. Quel serait le changement de température de la balle, si son énergie cinétique était entièrement absorbée par celle-ci ?

Solution : L'énergie cinétique de la balle est :
K = ½ mv² = ½ (2,00 x 10⁻³ kg) (200 m/s)² = 40,0 J
L'environnement n'est pas plus chaud que la balle, donc elle ne gagne pas d'énergie thermique. Sa température augmente car les 40,0 J d'énergie cinétique sont convertis en 40,0 J d'énergie interne supplémentaire. On peut imaginer ce processus comme un transfert de chaleur Q = mcΔT pour calculer ΔT :
Q = mcΔT
Comme la chaleur spécifique de l'argent est de 234 J/(kg·°C), on obtient :
ΔT = Q / (mc) = (40,0 J) / [(2,00 x 10⁻³ kg) (234 J/(kg·°C))] = 85,5 °C

Exercice. Supposons que le cow-boy utilise une balle en plomb de même masse et vitesse contre le mur. Quel serait le changement de température de la balle ?

Réponse : 157 °C.

Exemple 4 : Le refroidissement de la vapeur

Quelle masse de vapeur initialement à 130 °C est nécessaire pour réchauffer 200 g d'eau de 20,0 °C à 50,0 °C dans un récipient en verre de 100 g ?

Solution : Il s'agit d'un problème de transfert de chaleur où l'énergie thermique cédée par la vapeur est égale à l'énergie thermique gagnée par l'eau et le récipient en verre. La vapeur perd de l'énergie thermique en trois étapes.

Dans la première étape, la vapeur est refroidie à 100 °C. L'énergie thermique dégagée dans ce processus est :
Q₁ = m_vapeurc_vapeurΔT = m_vapeur (2,01 x 10³ J/(kg·°C)) (130 °C - 100 °C) = m_vapeur (6,03 x 10⁴ J/kg)

Dans la deuxième étape, la vapeur se condense en eau. Pour trouver l'énergie thermique cédée, on utilise la chaleur latente de vaporisation Q = mL_v :
Q₂ = m_vapeur (2,26 x 10⁶ J/kg)

Dans la dernière étape, la température de l'eau (issue de la condensation) est réduite à 50,0 °C. Cela libère une quantité d'énergie thermique :
Q₃ = m_vapeurc_eauΔT = m_vapeur (4,19 x 10³ J/(kg·°C)) (100 °C - 50,0 °C) = m_vapeur (2,09 x 10⁵ J/kg)

D'autre part, l'énergie absorbée par l'eau et le récipient en verre est donnée par :
Q₄ = m_eauc_eau (50 °C - 20 °C)
Q₅ = m_verrec_verre (50 °C - 20 °C)

En égalant l'énergie thermique perdue par la vapeur à l'énergie thermique gagnée par l'eau et le verre, on obtient :
Q₁ + Q₂ + Q₃ = Q₄ + Q₅
m_vapeur(6,03 x 10⁴ J/kg) + m_vapeur(2,26 x 10⁶ J/kg) + m_vapeur(2,09 x 10⁵ J/kg) = (0,200 kg)(4186 J/(kg·°C))(30 °C) + (0,100 kg)(c_verre)(30 °C)

En utilisant les informations données (et en supposant une valeur typique pour c_verre si elle n'est pas fournie, ou en résolvant pour m_vapeur si c_verre est connu), on trouve que :
m_vapeur = 10,9 g.

Exemple 5 : Ébullition de l'hélium liquide

L'hélium liquide a un point d'ébullition très bas (4,2 K) et une chaleur latente de vaporisation également très faible (2,09 x 10⁴ J/kg, tableau 2). On transfère une puissance constante de 10,0 W à un conteneur d'hélium liquide via un chauffe-eau électrique immergé. À ce rythme, combien de temps faut-il pour faire bouillir 1,00 kg d'hélium liquide ?

Raisonnement et Solution : Puisque L_v = 2,09 x 10⁴ J/kg pour l'hélium liquide, il faut fournir 2,09 x 10⁴ J d'énergie pour faire bouillir 1,00 kg. La puissance fournie à l'hélium est de 10,0 W = 10,0 J/s. Autrement dit, en 1,0 s, 10,0 J d'énergie est transférée à l'hélium. Par conséquent, le temps nécessaire pour transférer 2,09 x 10⁴ J d'énergie est :
t = Énergie / Puissance = (2,09 x 10⁴ J) / (10,0 J/s) = 2,09 x 10³ s ≈ 35 min

Exercice. Si vous fournissez 10,0 W de puissance à 1,00 kg d'eau à 100 °C, combien de temps faut-il pour que toute l'eau s'évapore ?

Réponse : 62,8 h.

Exemple 6 : Travail effectué lors d'une détente isotherme

Calculer le travail effectué par 1,0 mole d'un gaz parfait maintenu à 0,0 °C lors d'une expansion de 3,0 litres à 10,0 litres.

Solution : En substituant ces valeurs dans l'équation du travail pour un processus isotherme réversible :
W = nRT ln (V_f / V_i)
qui produit :
W = (1,0 mol) (8,31 J/(mol·K)) (273 K) ln (10,0 L / 3,0 L)
W = 2,7 x 10³ J

L'énergie thermique à fournir au gaz par le réservoir pour maintenir la température à 0 °C est également de 2,7 x 10³ J.

Exemple 7 : Faire bouillir l'eau

Un gramme d'eau liquide occupe un volume de 1,00 cm³ à la pression atmosphérique. Quand cette eau s'évapore, elle devient 1671 cm³ de vapeur.

Calculer la variation d'énergie interne lors de ce processus.

Solution : Comme la chaleur latente de vaporisation de l'eau est de 2,26 x 10⁶ J/kg à la pression atmosphérique, la chaleur nécessaire pour vaporiser 1,00 g est :
Q = mL_v = (1,00 x 10⁻³ kg) (2,26 x 10⁶ J/kg) = 2260 J

Le travail effectué par le système est positif et égal à :
W = p(V_vapeur - V_eau) = (1,013 x 10⁵ N/m²) [(1671 - 1,00) x 10⁻⁶ m³] = 169 J

Par conséquent, le changement d'énergie interne est :
ΔU = Q - W = 2260 J - 169 J = 2091 J ≈ 2,09 kJ

L'énergie interne du système augmente car ΔU est positif. La majeure partie (environ 93%) de l'énergie thermique transférée au liquide est utilisée pour augmenter l'énergie interne. Seulement environ 7% correspond au travail externe.

Exemple 8 : Chaleur transférée à un solide

Une tige de cuivre de 1,0 kg est chauffée à la pression atmosphérique. Si sa température augmente de 20 °C à 50 °C, (a) trouver le travail effectué par le cuivre.

Solution : Le changement de volume du cuivre peut être calculé en utilisant l'équation ΔV = βV₀ΔT et le coefficient de dilatation volumique du cuivre (pris du tableau 19.2, rappelez-vous que β = 3α).
ΔV = βV₀ΔT = [5,1 x 10⁻⁵ (°C)⁻¹] (50 °C - 20 °C) V₀ = 1,53 x 10⁻³ V₀

Mais V₀ = m/ρ et la densité du cuivre est 8,92 x 10³ kg/m³. Par conséquent :
V₀ = (1,0 kg) / (8,92 x 10³ kg/m³) ≈ 1,12 x 10⁻⁴ m³
ΔV = (1,53 x 10⁻³) * (1,12 x 10⁻⁴ m³) ≈ 1,71 x 10⁻⁷ m³

Comme l'expansion se produit à pression constante, le travail est :
W = pΔV = (1,013 x 10⁵ N/m²) (1,71 x 10⁻⁷ m³) ≈ 1,73 x 10⁻² J

(b) Quelle énergie thermique est transférée au cuivre ?

Solution : En prenant la chaleur spécifique du cuivre dans le tableau 1 (387 J/(kg·°C)), l'énergie thermique transférée est :
Q = mcΔT = (1,0 kg) (387 J/(kg·°C)) (30 °C) = 1,16 x 10⁴ J

(c) Quelle est l'augmentation de l'énergie interne du cuivre ?

Solution : D'après la première loi de la thermodynamique, l'augmentation de l'énergie interne est :
ΔU = Q - W = 1,16 x 10⁴ J - 1,73 x 10⁻² J ≈ 1,16 x 10⁴ J

Notez que presque toute l'énergie thermique transférée sert à augmenter l'énergie interne. La fraction de l'énergie thermique utilisée pour effectuer un travail contre l'atmosphère est approximativement égale à seulement 10⁻⁶ ! Par conséquent, lors de la dilatation thermique d'un solide ou d'un liquide, la petite quantité de travail accompli est souvent négligée.

Exemple 9 : Transfert de chaleur à travers deux plaques

Deux plaques d'épaisseur L₁ et L₂ et de conductivités thermiques k₁ et k₂ sont en contact thermique, comme le montre la figure 1.

Les surfaces extérieures sont aux températures T₁ et T₂, respectivement, avec T₂ > T₁. Déterminer la température à l'interface et le taux de transfert d'énergie thermique à travers les plaques en régime stationnaire.

Solution : Si T est la température à l'interface, le taux de transfert d'énergie thermique à travers la plaque 1 est :
H₁ = k₁A (T - T₁) / L₁

De même, le taux de transfert d'énergie thermique à travers la plaque 2 est :
H₂ = k₂A (T₂ - T) / L₂

En régime stationnaire, ces taux de transfert de chaleur doivent être égaux, donc :
k₁A (T - T₁) / L₁ = k₂A (T₂ - T) / L₂

La résolution pour T donne :
T = (k₁L₂T₁ + k₂L₁T₂) / (k₁L₂ + k₂L₁)

En substituant cette expression pour T dans l'une des équations pour H₁ ou H₂, on obtient le taux de transfert de chaleur total H :
H = A (T₂ - T₁) / ((L₁/k₁) + (L₂/k₂))

L'extension de ce modèle à plusieurs plaques de matériaux conduit à l'équation 16.

Exemple 10 : La valeur R d'un mur mitoyen

Calculer la valeur R totale d'un mur construit comme montré dans la figure 2a.

En partant de l'extérieur de la maison (à gauche dans la figure 2a) vers l'intérieur, le mur est constitué de briques, d'un revêtement de 0,5 pouce, d'un entrefer de 3,5 pouces et d'une cloison sèche de 0,5 pouce d'épaisseur. Inclure les couches d'air (film d'air) intérieur et extérieur.

Solution : En nous référant au tableau 4, nous trouvons les valeurs R pour chaque couche. La valeur R totale du mur est la somme des valeurs R individuelles :
R₁ (film d'air extérieur, circulation libre) = 0,17 ft²·°F·h/BTU
R₂ (brique) = 4,00 ft²·°F·h/BTU
R₃ (revêtement) = 1,32 ft²·°F·h/BTU
R₄ (espace aérien) = 1,01 ft²·°F·h/BTU
R₅ (cloison sèche) = 0,45 ft²·°F·h/BTU
R₆ (film d'air intérieur, circulation libre) = 0,17 ft²·°F·h/BTU
R_total = R₁ + R₂ + R₃ + R₄ + R₅ + R₆ = 0,17 + 4,00 + 1,32 + 1,01 + 0,45 + 0,17 = 7,12 ft²·°F·h/BTU

Exercice. Si une couche d'isolation en fibre de verre de 3,5 pouces d'épaisseur remplace l'entrefer, comme dans la figure 2b, quelle est la nouvelle valeur R totale ? Par quel facteur la perte d'énergie thermique est-elle réduite ?

Réponse : R = 17 ft²·°F·h/BTU. La perte d'énergie est réduite par un facteur de 2,4.

Exemple 11 : Qui éteint le thermostat ?

Un étudiant est nu dans une pièce à 20 °C. Si la température de la peau de l'étudiant est de 37 °C, quelle quantité de chaleur est perdue par son corps en 10 minutes, en supposant que l'émissivité de la peau est de 0,90 et que la surface de l'étudiant est de 1,5 m² ?

Solution : Le taux net de perte de chaleur par rayonnement est donné par la loi de Stefan-Boltzmann :
P_net = σAe (T⁴ - T₀⁴)
= (5,67 x 10⁻⁸ W/(m²·K⁴)) (1,5 m²) (0,90) [(310 K)⁴ - (293 K)⁴] ≈ 140 J/s

À ce taux de perte d'énergie, la chaleur totale perdue par la peau en 10 minutes est :
Q_net = P_net × temps = (140 J/s) (600 s) = 84000 J = 8,4 x 10⁴ J