Cours sur les vecteurs de l'espace

IV. Vecteurs de l’espace
1. Coordonnées du milieu, d’un vecteur et normes
Si A (xA ; yA ;zA) et B (xB ; yB ; zB) alors :
- AB (xB-xA ; yB-yA; zB-zA)
- le milieu de [AB] a pour coordonnées ( xA+ xB/ 2 ; yA+ yB/ 2 ; zA+ zB/ 2 )

- AB = || ⃗AB⃗⃗⃗⃗ || =  raiz cuida. (xB-xA)^2 + (yB –yA)^2 + (zB –zA)^2

2. Vecteurs égaux
- Définition: Deux vecteurs non nuls de l’espace sont égaux s’ils ont même direction, même sens, et même norme.

- u⃗ (a; b ; c) = u′⃗ (a’; b’; c’) sont égaux si et seulement si { a = a′ , b = b′ , c = c′

- Quatre points A,B,C et D non alignés forment un parallélogramme ssi AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CD⃗⃗⃗⃗⃗

3. Somme de deux vecteurs

Relation de Chasles : Si u = AB et v = BC , alors u + v = AB + BC = AC

Exemple : Vecteurs opposés : Si u + v = 0 , on dit que u et v sont opposés, et on note u = -v

5. Colinéarité de deux vecteurs

- Définition : Deux vecteurs u et v sont colinéaires s’ils ont la même direction.

- Propriété: Deux vecteurs u et v sont colinéaires ssi il existe un réel k tel que u⃗ = k v

- Remarques : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles ssi les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

-Trois points A, B et C sont alignés ssi les vecteurs AB et AC sont colinéaires

6. Combinaison linéaire de vecteurs

Définition Soit u et v deux vecteurs non nuls. On appelle combinaison linéaire de u et v tout vecteur qui s’écrit a u⃗ + b v avec a et b réels quelconques.

7. Vecteurs coplanaires
Propriété : Trois vecteurs non nuls de l’espace u, v et w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que w = a u + b v .

Autrement dit : trois vecteurs sont coplanaires si l’un est combinaison linéaire des deux autres.

8. Vecteurs orthogonaux
Définition: Deux vecteurs AB et CD sont orthogonaux si et seulement si les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

Autre: les points définissent un plan: les points déterminent un plan ils ne sont pas alignés, donc on cherche la colinearité.

Si les points ne sont pas colinéaires, donc ils ne sont pas alignés et donc ils définissent un plan.

Autre: Pour former un trapèze on a besoin de 2 droites parallèles.

Dans le quadrilatère les droites sont parallèles.