Exercices corrigés : Mécanique et Énergie Solaire

Exercice 1 : Étude du mouvement d'un chariot

1.1 Étude du mouvement sur le tronçon AB

1.1.1 Forces appliquées

Le chariot est soumis aux trois forces suivantes :

• Force motrice F :
  • Origine : point de contact entre le joueur et le chariot
  • Direction : horizontale
  • Sens : de A vers B
  • Norme : F = 120 N
• Poids P :
  • Origine : centre de gravité G
  • Direction : verticale
  • Sens : vers le bas
  • Norme : P = m × g = 5 × 9,81 = 49,05 N
• Réaction normale du support R :
  • Origine : point de contact entre le sol et le chariot
  • Direction : verticale
  • Sens : vers le haut
  • Norme : R = P = 49,05 N

Ces trois forces sont les seules appliquées au chariot, car les frottements sont négligés dans ce tronçon, conformément à l’énoncé.

1.1.2 Schéma

(Schéma à réaliser avec les trois forces vectorielles : F, P, R)

1.1.3 Théorème de l'énergie cinétique

Variation de l'énergie cinétique :

Ce théorème s’applique ici car le référentiel terrestre est supposé galiléen, ce qui autorise l’usage de la relation fondamentale de la dynamique : ΔEc = W(F) + W(P) + W(R)

1.1.4 Calcul de l'énergie cinétique en B

• Le chariot est au repos en A donc Ec(A) = 0.
• P et R sont perpendiculaires au déplacement donc leurs travaux sont nuls.
• Seule la force motrice F produit un travail :

W(P) = W(R) = 0
Ec(B) = F × AB = 120 × 1,20 = 144 J

Cela s’explique car P et R sont perpendiculaires au déplacement, donc leur produit scalaire avec le vecteur déplacement est nul.

1.1.5 Calcul de la vitesse en B

Ec(B) = (1/2) × m × vB² → vB = √(2 × Ec(B) / m)

vB = √(2 × 144 / 5) ≈ 7,59 m/s

1.2 Montée entre B et le sommet C

1.2.1 Forces appliquées

(Identique à 1.1.1 pour P et R)

1.2.2 Travaux des forces

• Travail de la réaction normale :

W(R) = R × AB × cos(90°) = 0

• Travail du poids :

W(P) = -mg × Hmax = -5 × 9,81 × 2,40 = -117,72 J soit environ -118 J

Le travail du poids est négatif car il s’oppose au déplacement vertical du chariot vers le haut.

La réaction normale étant toujours perpendiculaire au déplacement, elle ne produit aucun travail.

1.2.3 Théorème de l'énergie cinétique

Au sommet, la vitesse est nulle donc Ec = 0 :

ΔEc = W(P) → 0 - Ec(B) = -mg × Hmax → Ec(B) = mg × Hmax

Formule : Hmax = vB² / 2g

Au point le plus haut, la vitesse est nulle, donc l’énergie cinétique aussi. Toute l’énergie du système est alors sous forme potentielle.

1.2.4 Calcul de Hmax

Hmax = 7,6² / (2 × 9,81) ≈ 2,94 m soit 2,9 m

1.2.5 Écart avec la réalité

En réalité, le chariot ne monte qu'à 1,90 m car une partie de l'énergie a été dissipée par les frottements (air, roulements, rails).

Cette dissipation d’énergie se fait notamment sous forme de chaleur (échauffement des pièces en mouvement), de vibrations ou de bruit, ce qui explique que la hauteur atteinte soit inférieure à celle théoriquement calculée.

Partie 2 : Conservation de l'énergie

2.1 Conservation de l'énergie entre B et C

Il n'y a pas de frottements donc l'énergie mécanique se conserve.

En l’absence de frottements (forces non conservatrices), l’énergie mécanique, c’est-à-dire la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle de pesanteur, reste constante entre les points B et C.

2.2 Énergie cinétique et potentielle

On pose Epp(B) = 0, donc :

Em(B) = Em(C) → Ec(B) = Epp(C) → 1/2 m vB² = m g Hmax

On retrouve Hmax = vB² / 2g comme précédemment.

On remarque que cette expression est identique à celle obtenue dans la première partie, ce qui permet de valider la cohérence du raisonnement par deux méthodes différentes.

Exercice 2 : Énergie solaire et stockage

2.1 Diagramme énergétique

• E1 = Énergie lumineuse → E2 = Énergie électrique (rendement η1 = 20%)
• Puis transformée en chaleur (thermique) à la fin (rendement η2 = 100%)

2.2 Énergie produite par la photopile

Données : Ps = 300 W/m², S = 0,05 m², Δt = 5 h = 18 000 s

• Puissance lumineuse reçue = 300 × 0,05 = 15 W
• Énergie électrique produite = η1 × Ps × S × Δt

E2 = 0,20 × 300 × 0,05 × 18 000 = 54 000 J

2.3 Stockage dans la batterie

E = U × Q → Q = E / U

2.4 Expression littérale de Q

Q = (η1 × Ps × S × Δt) / U

2.5 Calcul de Q

Q = (0,20 × 300 × 0,05 × 18 000) / 5 = 10 800 C

2.6 Pourcentage de charge

Capacité max = 1,1 × 10⁵ C

% = (10 800 / 110 000) × 100 ≈ 9,82%

Si la batterie était initialement à 10 %, elle passe à : 19,8 % après 5 heures de charge.

Conclusion

Les énergies cinétique et potentielle sont bien mises en relation grâce aux travaux des forces, et les calculs énergétiques permettent de prévoir le comportement réel du chariot ainsi que les limites de rendement d’un système de recharge solaire.