Fonctions, croissance, décroissance, minimum, maximum, taux de variation, parité, voisinage, limite, théorème, continuité

Fonctions

Soit A et B deux ensembles. Une fonction de A vers B est une relation de A vers B telle que tout élément de A est en relation avec exactement un élément de B.

Fonctions croissantes/décroissantes

Soit une fonction f et un intervalle inclus dans son domaine. La fonction f est dite croissante sur I lorsque a<b=>f(a)</=f(b) pour tout a et b dans I. (...)décroissante sur I lorsque a<b=>f(a)>/=f(b)(...). (...)constante lorsque f(a)=f(b)(...).

Minimum/maximum

On dit qu'une fonction f admet un maximum local en a lorsqu'il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que f(x)</=f(a) pour tout x dans I n Df. (...)un minimum local en a (...) f(x)>/=f(a)(...). (...)un maximum (respectivement un minimum) absolu en a lorsque f(x)</=f(a) (respectivement f(x)>/=f(a))(...). (...)un extremum (local ou absolu) en a lorsqu'elle admet un maximum ou un minimum (local ou absolu) en a.

Taux de variation

Soit f une fonction, I un intervalle inclus dans son domaine, a et b deux éléments distincts de I. On appelle taux de variation de la fonction f entre a et b, et on note tf(a;b), le réal défini par tf(a;b)= f(b)-f(a)/b-a.

Parité

Une fonction est dite paire lorsque son domaine est symétrique et que f(-x)=f(x) pour tout x dans Df. (...)impaire(...)f(-x)=-f(x)(...).

Voisinage

On appelle voisinage d'un réel a un intervalle ouvert contenant a.

Limite

Soit f une fonction définie dans un voisinage, sauf peut-être en a. On dit que f admet le réel b comme limite en a (ou que f(x) tend vers b quand x tend vers a, ou encore que b est limite de f en a) lorsque f(x) est arbitrairement proche de a. --->Théorème: Ce réel b s'il existe, est unique.

Limite à gauche/à droite

1)On appelle demi-voisinage gauche (respectivement demi-voisinage droit) de a un intervalle de la forme )a-λ; a) (respectivement (a; a+λ() où λ est un réel strictement positif. 2) Soit f une fonction définie dans un demi-voisinage gauche (respectivement un demi-voisinage droit) de a, sauf peut-être en a. On dit que f admet le réel b comme limite à gauche (respectivement à droite) en a lorsque f(x) est arbitrairement près de b dès que x, x<a, (respectivement x>a) est suffisamment près de a. ---> Théorème: f admet la limite b en a si, et seulement si, elle admet b comme limite à gauche et comme limite à droite en a.

Continuité

Soit f une fonction définie ans un voisinage d'un point a. On dit que la fonction f est continue en a lorsque lim x->a f(x) existe et que lim x->a f(x)=f(a). ---> Théorème (du manque): Soit f et g deux fonctions. Si g est continue en a et si f(x)=g(x) dans un voisinage de a (sauf peut-être en a), alors lim x->a f(x) existe et lim x->a f(x)=g(a)

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