Forces Conservatrices et Lois de Kepler : Guide de Physique

Les forces conservatrices et l'énergie potentielle

Bloc 1

Pour de nombreux types de forces, le travail effectué pour déplacer un corps entre deux points dépend du chemin suivi (comme les forces de frottement). Ce n'est pas le cas pour un type particulier de forces appelées forces conservatrices. Une force conservatrice est une force capable de restituer le travail effectué contre elle. Elles se caractérisent par l'exécution d'une tâche qui ne dépend que de la position initiale et finale, et non du chemin parcouru. Pour cette raison, lorsque le travail est effectué sur un circuit fermé, il est nul. Il s'agit d'une propriété présentée par les forces centrales. Les domaines dans lesquels ces forces agissent reçoivent à leur tour le nom de systèmes conservatifs.

En tenant compte du fait que l'exécution du travail s'accompagne d'un changement d'énergie, nous pouvons définir un nouveau type d'énergie associée à la position. S'il est vrai que le travail accompli par cette force est égal à la différence entre les valeurs initiales et finales, cette énergie est appelée potentielle et ne dépend que des coordonnées.

5.3. L'énergie potentielle gravitationnelle

Pour calculer l'expression de l'énergie, nous calculons le travail accompli par la gravité à partir d'un point (à l'infini) jusqu'à n'importe quel point du champ, à une distance r de l'objet créant le champ :

(Ce résultat est obtenu en appliquant les propriétés des intégrales définies). En substituant, nous arrivons à l'expression suivante si l'on place la source d'énergie potentielle (zéro) à l'infini :

C'est la valeur que prend l'énergie potentielle d'un objet de masse m' qui se trouve à une distance r de l'objet de masse m qui crée le champ.

L'énergie potentielle est toujours négative et augmente à mesure que l'on s'éloigne de la surface de la Terre.

Les trois lois de Kepler sur le mouvement planétaire

1. Première loi de Kepler : Loi des orbites

Toutes les planètes décrivent des orbites elliptiques dont le Soleil occupe l'un des foyers.

Puisque le vecteur L est constant dans le système, il ne modifie ni son ampleur, ni sa direction, ni son sens (étant orienté perpendiculairement au plan de l'écliptique, vers le haut à gauche). Par conséquent, le plan de l'orbite ne change pas.

2. Deuxième loi de Kepler : Loi des aires

Cette loi décrit les orbites de la Terre dans son mouvement autour du Soleil : le rayon vecteur reliant la planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux. Cela signifie que la vitesse aréolaire reste constante.

Preuve : Dans un temps dt, une planète se déplace dans un espace donné. En regardant le dessin, l'aire du triangle qui se forme est donnée par le produit vectoriel (rappelons que le produit vectoriel représente l'aire du parallélogramme).

Nous démontrons que la surface balayée dépend de la masse, du module du moment angulaire et du temps. Le déplacement de la masse est constant et le moment cinétique L est constant (comme mentionné dans la première loi), car il s'agit de forces centrales et gravitationnelles en l'absence de forces extérieures. Par conséquent, pour une même période de temps, la surface balayée sera la même.

Cela indique que les planètes, lorsqu'elles passent par le périhélie de leur orbite (zone la plus proche du Soleil), voyagent plus vite qu'à l'aphélie (zone la plus éloignée du Soleil), car elles doivent parcourir la même aire alors que le rayon est plus petit.

3. Troisième loi de Kepler : Loi des périodes

Les carrés des périodes de révolution des planètes autour du Soleil sont proportionnels aux cubes des demi-grands axes de leurs orbites. L'expression mathématique est : T² = k · R³.