Guide complet : Systèmes d'équations, Rangs et Matrices

Types de systèmes d'équations

Les systèmes d'équations peuvent être classés selon le nombre de solutions possibles :

• Système incompatible : s'il n'a aucune solution.
• Système compatible : s'il possède au moins une solution. On distingue alors :
  • Système compatible déterminé : quand il a un nombre fini de solutions.
  • Système compatible indéterminé : quand il admet un ensemble infini de solutions.

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Calcul du rang d'une matrice

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Pour déterminer le rang, on vérifie les propriétés suivantes :

• Tous les coefficients sont nuls.
• Il existe deux lignes égales.
• Une ligne est proportionnelle à une autre.
• Une ligne est une combinaison linéaire des autres (ex: c₃ = c₁ + c₂).

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1. Rang 1 : Au moins un élément est non nul (son déterminant est non nul).

2. Rang 2 : S'il existe une sous-matrice carrée d'ordre 2 dont le déterminant est non nul.

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3. Rang 3 : S'il existe une sous-matrice carrée d'ordre 3 dont le déterminant est non nul.

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Si tous les déterminants des sous-matrices d'ordre 3 sont nuls, alors r(B) = 2.

Déterminant 3x3

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Théorème de Rouché-Frobenius

La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système de m équations et n inconnues ait une solution est que le rang de la matrice des coefficients (r) soit égal au rang de la matrice augmentée (r').

• r = r' : Système compatible.
  • r = r' = n : Système compatible déterminé.
  • r = r' < n : Système compatible indéterminé.
• r ≠ r' : Système incompatible.

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Étapes de résolution :

1. Trouver le rang de la matrice des coefficients. %IMAGE_9% %IMAGE_10% %IMAGE_11% %IMAGE_12%
2. Trouver le rang de la matrice augmentée. %IMAGE_13% %IMAGE_14%
3. Appliquer le théorème de Rouché-Frobenius. %IMAGE_15% %IMAGE_16%
4. Résoudre le système (Cramer ou Gauss). %IMAGE_17% %IMAGE_18% %IMAGE_19% %IMAGE_20%

Calcul de la matrice inverse

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1. Calculer le déterminant de la matrice (si nul, la matrice n'est pas inversible). %IMAGE_27%

2. Trouver la matrice adjointe (chaque élément est remplacé par sa sous-matrice). %IMAGE_28%

3. Calculer la transposée de la matrice adjointe. %IMAGE_29%

4. La matrice inverse est égale à l'inverse du déterminant multiplié par la transposée de l'adjointe. %IMAGE_30%

Formules matricielles

• 1er cas : X + B = C → X = C - B
• 2e cas : AX = C → X = A^-1C (si |A| ≠ 0)
• 3e cas : XA = C → X = CA^-1 (si |A| ≠ 0)
• 4e cas : AX + BX = C → (A + B)X = C → X = (A + B)^-1C

Multiplication des matrices

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Règle : multiplier les lignes par les colonnes.