Loi Binomiale et Probabilités : Cours et Exercices Corrigés

Reconnaître une loi binomiale

Indiquer si la variable suit une loi binomiale :

• Si (X1, X2, X3...) forme un échantillon de taille 3 de la loi de Bernoulli de paramètre p, alors la somme S suit la loi binomiale de paramètres n et p.
• À l'inverse, comme les tirages se font sans remise, les variables aléatoires ne sont pas indépendantes ; par conséquent, la somme S des variables ne suit pas une loi binomiale.

Justification de la loi de probabilité de H

Justifier que H peut s'écrire comme une somme de variables aléatoires :

Si l'on note Xi la variable aléatoire qui vaut 1 si le numéro donne "", alors Xi suit la loi de Bernoulli de paramètre p. La somme H de cet échantillon donnera alors le nombre de "" obtenus et suivra la loi binomiale de paramètres n et p.

Analyse des cryptogrammes

Pour des cryptogrammes différents : 10 × 9 × 8 = 720. On en déduit 999 - 720 = 170 cryptogrammes comportant 2 chiffres identiques. Soit D la variable aléatoire valant 1 si le cryptogramme comporte deux fois le même chiffre et 0 sinon. La loi de probabilité de la variable aléatoire D est une loi de Bernoulli de paramètre p = 170/990.

Formules de l'espérance et de la variance

• Écart-type : Racine carrée de la variance (σ = √V).
• Espérance E(X) : n × p (ou moyenne des valeurs).
• Variance V(X) : n × p × (1-p) ou somme de (g - E(G))² × P(G=g).
• Loi de probabilité : Définie par G = g et P(G=g).

Exercice 79 : Comparaison de variables

L'espérance d'une variable suivant la loi de Bernoulli de paramètre 0,5 vaut 0,5. Ainsi :

• E(D) = 2E(B1) = 1
• E(S) = E(B2) + E(B3) = 1
• E(U) = 1

Les espérances sont égales. La variance d'une variable suivant la loi de Bernoulli de paramètre 0,5 vaut 0,5 × 0,5 = 0,25. Par conséquent :

• V(D) = 2² × V(B1) = 4 × 0,25 = 1
• V(S) = V(B2) + V(B2) = 0,5
• V(U) = 2/3

Ainsi, σ(D) = √4 = 2 et σ(U) = √(2/3), donc σ(D) > σ(U).

Exercice 80 : Calcul binomial

S suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,4. On obtient :

• E(S) = 20 × 0,4 = 8
• V(S) = 20 × 0,4 × 0,6 = 4,8

Exercice 81 : Échantillonnage

E(X) = (10 + ... + 25) / 16 = 17,5 et V(X) = ((10 - 17,5)² + ... + (25 - 17,5)²) / 16 = 21,25. Pour la somme S de 15 variables : E(S) = 15E(X) = 262,5 et V(S) = 15²V(X) = 4781,25.

Exercice 83 : Centrage de la variable

E(X) = 50 × 0,4 = 20. Ainsi, E(X - m) = 0 ⇔ E(X) - m = 0 ⇔ E(X) = m, donc pour m = 20.

Exercice 86 : Lancers de dés indépendants

D prend ses valeurs de manière équiprobable dans ]1;6]. E(D) = (1 + ... + 6) / 6 = 3,5. V(D) = ((1 - 3,5)² + ... + (6 - 3,5)²) / 6 = 91/36 et σ(D) = √(91/36). Les lancers étant indépendants, S est bien la somme d'un échantillon de taille 4 de la loi de D. Comme E(S) = 4E(D) et σ(S) = 4σ(D), c'est S qui a l'espérance et l'écart-type les plus élevés.

Exercice 87.1 : Chiffres et loi équiprobable

E(U) = (0 + ... + 9) / 10 = 4,5, V(U) = 8,25 et σ(U) = √8,25. U prend toutes les valeurs du chiffre de l'unité (entre 0 et 9) et D celles du chiffre des dizaines. N prend donc toutes les valeurs entières entre 0 et 99. E(N) = 10E(D) + E(U) = 10 × 4,5 + 4,5 = 49,5. V(N) = 100V(D) + V(U) = 833,25, donc σ(N) = √833,25. En faisant un tableau à double entrée, on constate que les sommes donnent 100 valeurs comprises entre 0 et 99 de manière équiprobable avec une probabilité de 0,01 : c'est la loi équiprobable dans [0;99].