Notions fondamentales sur les fonctions

Fonctions

Soient A et B deux ensembles. Une fonction de A vers B est une relation de A vers B telle que tout élément de A est en relation avec exactement un élément de B.

Fonctions croissantes, décroissantes et constantes

Soit une fonction f et un intervalle I inclus dans son domaine. La fonction f est dite :

• Croissante sur I lorsque a < b ⇒ f(a) ≤ f(b) pour tout a et b dans I.
• Décroissante sur I lorsque a < b ⇒ f(a) ≥ f(b) pour tout a et b dans I.
• Constante sur I lorsque f(a) = f(b) pour tout a et b dans I.

Minimum et maximum

On dit qu'une fonction f admet :

• Un maximum local en a lorsqu'il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que f(x) ≤ f(a) pour tout x dans I ∩ Df.
• Un minimum local en a lorsqu'il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que f(x) ≥ f(a) pour tout x dans I ∩ Df.
• Un maximum (ou minimum) absolu en a lorsque f(x) ≤ f(a) (ou f(x) ≥ f(a)) pour tout x dans Df.
• Un extremum (local ou absolu) en a lorsqu'elle admet un maximum ou un minimum (local ou absolu) en a.

Taux de variation

Soit f une fonction, I un intervalle inclus dans son domaine, a et b deux éléments distincts de I. On appelle taux de variation de la fonction f entre a et b, noté τf(a;b), le réel défini par : τf(a;b) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Parité

• Une fonction est dite paire lorsque son domaine est symétrique et que f(-x) = f(x) pour tout x dans Df.
• Une fonction est dite impaire lorsque son domaine est symétrique et que f(-x) = -f(x) pour tout x dans Df.

Voisinage

On appelle voisinage d'un réel a un intervalle ouvert contenant a.

Limite

Soit f une fonction définie dans un voisinage de a, sauf peut-être en a. On dit que f admet le réel b comme limite en a (ou que f(x) tend vers b quand x tend vers a) lorsque f(x) est arbitrairement proche de b.

Théorème : Ce réel b, s'il existe, est unique.

Limite à gauche et à droite

1. On appelle demi-voisinage gauche (respectivement demi-voisinage droit) de a un intervalle de la forme ]a-λ; a[ (respectivement ]a; a+λ[) où λ est un réel strictement positif.
2. Soit f une fonction définie dans un demi-voisinage de a. On dit que f admet le réel b comme limite à gauche (respectivement à droite) en a lorsque f(x) est arbitrairement près de b dès que x est suffisamment près de a (avec x < a pour la gauche, x > a pour la droite).

Théorème : f admet la limite b en a si, et seulement si, elle admet b comme limite à gauche et comme limite à droite en a.

Continuité

Soit f une fonction définie dans un voisinage d'un point a. On dit que la fonction f est continue en a lorsque lim_x→a f(x) existe et que lim_x→a f(x) = f(a).

Théorème : Soient f et g deux fonctions. Si g est continue en a et si f(x) = g(x) dans un voisinage de a (sauf peut-être en a), alors lim_x→a f(x) existe et lim_x→a f(x) = g(a).