Le Principe de la Coupe en Statique des Solides

Le principe de la coupe en statique

Considérons (fig. 1.1) le schéma rendu libre d'un corps en équilibre sous l'action de forces extérieures P₁, P₂, . . . P₅. Coupons-le en deux parties G et D par une surface quelconque et désignons par S la section déterminée dans le corps. Affectons de l'indice g les forces externes situées à gauche de la section S et de l'indice d celles situées à sa droite.

Le corps étudié est en équilibre ; l'ensemble des forces P_j satisfait aux six équations connues de la statique :

ΣPj,g + ΣPj,d = 0
Σ(OAj,g × Pj,g) + Σ(OAj,d × Pj,d) = 0 (1.1)

où O est un pôle quelconque et A_j le point d'application de la force P_j.

Évaluation des forces intérieures

Supposons que l'on désire évaluer les forces intérieures transmises à travers la section S par la partie droite sur la partie gauche. Pour ce faire, il faut transformer les forces intérieures en forces extérieures en supprimant par la pensée la partie droite.

La partie gauche reste en équilibre sous l'action des forces P_j,g et des forces F_d, qui remplacent les forces intérieures dans la section S (fig. 1.2). Désignons par R_d la résultante des forces F_d et par M_o,d le moment résultant par rapport au pôle O. L'équilibre du tronçon de gauche exige :

ΣPj,g + Rd = 0
Σ(OAj,g × Pj,g) + Mo,d = 0 (1.2)

De même, en supprimant la partie gauche, on obtient pour la partie droite :

ΣPj,d + Rg = 0
Σ(OAj,d × Pj,d) + Mo,g = 0 (1.3)

Action et réaction

En additionnant les équations (1.2) et (1.3) et en tenant compte des égalités (1.1), on obtient :

• R_g + R_d = 0
• M_o,g + M_o,d = 0 (1.4)

Les forces intérieures de part et d'autre de la section S font équilibre, conformément au principe de l'action et de la réaction. On peut donc écrire :

ΣPj,d = Rd
Σ(OAj,d × Pj,d) = Mo,d (1.5)

ΣPj,g = Rg
Σ(OAj,g × Pj,g) = Mo,g (1.6)

Résumé : Le principe de la coupe

Dans tout solide en équilibre sous l'action de forces extérieures :

1. Les forces intérieures qui s'exercent de part et d'autre d'une section quelconque se font équilibre.
2. Les forces intérieures transmises d'un côté de la section à l'autre font équilibre à toutes les forces extérieures appliquées depuis cette section jusqu'à l'extrémité opposée.
3. Elles sont statiquement équivalentes à l'ensemble des forces extérieures appliquées du même côté de la section.