Notes, résumés, travaux, examens et problèmes de Mathématiques

Fonctions

Soient A et B deux ensembles. Une fonction de A vers B est une relation de A vers B telle que tout élément de A est en relation avec exactement un élément de B.

Fonctions croissantes, décroissantes et constantes

Soit une fonction f et un intervalle I inclus dans son domaine. La fonction f est dite :

• Croissante sur I lorsque a < b ⇒ f(a) ≤ f(b) pour tout a et b dans I.
• Décroissante sur I lorsque a < b ⇒ f(a) ≥ f(b) pour tout a et b dans I.
• Constante sur I lorsque f(a) = f(b) pour tout a et b dans I.

Minimum et maximum

On dit qu'une fonction f admet :

• Un maximum local en a lorsqu'il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que f(x) ≤ f(a) pour tout x dans I ∩ Df.
• Un minimum local en a lorsqu'il existe un intervalle

IV. Vecteurs de l’espace
1. Coordonnées du milieu, d’un vecteur et normes
Si A (xA ; yA ;zA) et B (xB ; yB ; zB) alors :
- AB (xB-xA ; yB-yA; zB-zA)
- le milieu de [AB] a pour coordonnées ( xA+ xB/ 2 ; yA+ yB/ 2 ; zA+ zB/ 2 )

- AB = || ⃗AB⃗⃗⃗⃗ || =  raiz cuida. (xB-xA)^2 + (yB –yA)^2 + (zB –zA)^2

2. Vecteurs égaux
- Définition: Deux vecteurs non nuls de l’espace sont égaux s’ils ont même direction, même sens, et même norme.

- u⃗ (a; b ; c) = u′⃗ (a’; b’; c’) sont égaux si et seulement si { a = a′ , b = b′ , c = c′

- Quatre points A,B,C et D non alignés forment un parallélogramme ssi AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CD⃗⃗⃗⃗⃗

3. Somme de deux vecteurs

Relation de Chasles : Si u = AB et v... Continuer la lecture de "Cours sur les vecteurs de l'espace" »

Unité 4 : Les fonctions exponentielles

Les lois des exposants

• 1) La loi de la multiplication
• 2) La loi de la division
• 3) La puissance d'une puissance
• 4) Les exposants "zéro"
• 5) Les exposants négatifs

Applications des fonctions exponentielles

Rappel : La croissance et la décroissance

L'équation de base pour une fonction exponentielle est : y = ab^x

Pour modéliser une situation :

1. Trouvez le montant initial (a).
2. Trouvez le rapport (b) (taux de croissance ou de décroissance).
   • Croissance : b > 1
   • Décroissance : 0 < b < 1
3. Déterminez combien de temps cela va prendre à changer.

Pratique :

a) (3² / 4²)^-2

b) -4⁵ y³ / 2x⁹ y²

Les exposants rationnels

Note : ⁿ√x = x^1/n

Exemples :

• ²√9 = (9^1/2) = 3
• ³√27 = (27^1/3) = 3

Note : (ⁿ√a)^m = ⁿ√a^m = a^m/n

*** m peut

Le Bassin

L'os coxal est un os plat, pair et non symétrique, composé de trois parties fusionnées au niveau de l'acétabulum : l'ilion (en haut), l'ischion (en arrière) et le pubis (en avant). Il constitue la pièce maîtresse de la ceinture pelvienne et le point de croisement des transmissions de charges corporelles.

Structure et organisation

• Face endopelvienne : Divisée par la ligne arcée en grand bassin (supérieur) et petit bassin (inférieur).
• Face exopelvienne : Présente la surface glutéale et l'acétabulum, cavité hémisphérique articulée avec la tête fémorale.
• Foramen obturé : Orifice fermé par la membrane obturatrice, transformé en tunnel ostéo-fibreux pour le nerf obturateur.

Système musculaire

Le bassin est servi par deux... Continuer la lecture de "Anatomie fonctionnelle : Bassin, Genou et Fémur" »

Les Droites

1. Droites Sécantes

Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un seul point.

• La droite a est sécante à la droite d.
• Le point c est le point d'intersection des droites sécantes a et d.

2. Droites Parallèles

Deux droites parallèles n'ont aucun point d'intersection.

• La droite b est parallèle à la droite c.
• La droite c est parallèle à la droite b.

3. Droites Perpendiculaires

Les droites perpendiculaires sont des droites sécantes formant un angle droit de 90°.

Arêtes

Les arêtes sont représentées sur le dessin par des segments de droite (morceaux de droite) qui se notent par deux points (deux lettres en majuscule) mis entre crochets : [AB], [BC], [CD].

(Note : Le choix des points dépend du cube dessiné.)

Positions Relatives

Les Ensembles de Nombres

Comment construire les nombres ?

Les nombres s'écrivent à partir des chiffres qui sont placés dans un ordre bien précis. En partant de la droite, chaque chiffre représente successivement :

1. Les unités
2. Les dizaines
3. Les centaines
4. Les milliers

Exemple : milliers, centaines, dizaines, unités.

Types de Nombres

• Nombres Décimaux et Entiers

  Un nombre qui comporte une virgule s'appelle un nombre décimal. Un nombre sans virgule s'appelle un nombre entier.

  Un nombre est décimal s'il peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale.

• Nombres Naturels (N)

  Ce sont les nombres qui servent à compter les objets. Ils sont tous positifs. Symbole : N.

• Nombres Entiers Relatifs (Z)

  Ce sont les nombres positifs et négatifs dont la partie

La Proportionnalité : Concepts Clés

Définitions de la Proportionnalité

N23. Deux grandeurs sont proportionnelles si, lorsqu’on multiplie (ou on divise) une des grandeurs par un nombre, alors l'autre grandeur est automatiquement multipliée (ou divisée) aussi par le même nombre.

N24. Deux grandeurs sont proportionnelles quand on obtient les valeurs de l'une en multipliant les valeurs correspondantes de l'autre par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité.

Tableaux de Proportionnalité

Reconnaître un Tableau de Proportionnalité

Application pratique : comment reconnaître et prouver si on a un tableau de proportionnalité ?

• On divise les nombres de la deuxième ligne par les nombres correspondants de la première ligne.

Le présent progressif

Présent progressif (estoy viendo...) : Sujet + être (suis, es, est, sommes, êtes, sont) + en train de + infinitif.

Le futur proche

Futur proche (voy a...) : Sujet + aller (vais, vas, va, allons, allez, vont) au présent + infinitif.

Les adjectifs démonstratifs

Ce / Cet (masculin : este), Cette (féminin : esta), Ces (pluriel : estos).

Les adjectifs possessifs

• Singulier : masculin (mon, ton, son), féminin (ma, ta, sa), pluriel (notre, votre, leur).
• Pluriel : masculin/féminin (mes, tes, ses, nos, vos, leurs).

Le présent de l'indicatif

• Verbes en -er : -e, -es, -e, -ons, -ez, -ent.
• Verbes en -ir : -s, -s, -t, -ons, -ez, -ent.
• 3e groupe : -ir, -oir, -re, -dre et -tre.

La comparaison

Plus (+), moins (-), aussi (=).

Les pronoms possessifs

• Singulier

Un angle est une figure plane formée par deux demi-droites (ou rayons) qui ont le même point d'origine, appelé le sommet.

La forme géométrique : On appelle angle l'amplitude entre deux lignes quelconques qui convergent en un point commun appelé le sommet. Familièrement, l'angle est la figure formée par deux lignes ayant une origine commune. L'angle entre deux courbes est défini comme l'angle entre leurs tangentes au point d'intersection.

Sous forme trigonométrique : Description de la rotation d'un segment de droite autour d'une extrémité considérée comme sommet, d'une position de départ à une position finale. Si la rotation est dans le sens antihoraire (vers la gauche), l'angle est considéré comme positif. Si la rotation est... Continuer la lecture de "Angles : définition, types et propriétés" »